Редактирование: Теория групп

''В этой статье рассматриваются передовые понятия. Основные темы см. В разделе'' [[Группа (математика)]].

''Теория групп в социальных науках приведена в разделе'' [[Социальная группа]].

В математике и абстрактной алгебретеория групп изучает алгебраические структуры, известные как группы. Понятие группы занимает центральное место в абстрактной алгебре: другие известные алгебраические структуры, такие как кольца, поляи векторные пространства, можно рассматривать как группы , наделенные дополнительными операциями и аксиомами. Группы повторяются на протяжении всей математики, и методы теории групп оказали влияние на многие части алгебры. Линейные алгебраические группы и группы ли-это две ветви теории групп, которые испытали прогресс и сами по себе стали предметными областями.

Различные физические системы , такие как кристаллы и атом водорода, могут моделироваться группами симметрии. Таким образом , теория групп и тесно связанная с ней теория представлений имеют много важных применений в физике, химиии материаловедении. Теория групп также занимает центральное место в криптографии с открытым ключом.

Ранняя история теории групп относится к 19 веку. Одним из наиболее важных математических достижений 20-го века была совместная работа, занявшая более 10 000 журнальных страниц и опубликованная в основном в период с 1960 по 1980 год, которая завершилась полной классификацией конечных простых групп. 

[[Файл:Сруюорок.JPG|300px|thumb|left|Популярная головоломка Кубик Рубика, изобретенная в 1974 году Эрне Рубиком, была использована в качестве иллюстрации групп перестановок. Смотрите группу кубиков Рубика.]]

==Основные классы групп==
Основная статья: [[Группа (математика)]]

Диапазон рассматриваемых групп постепенно расширился от конечных групп перестановок и специальных примеров матричных групп до абстрактных групп, которые могут быть заданы с помощью представления генераторов и отношений.
===Группы перестановок===

Первым классом групп, подвергнутых систематическому изучению, были группы перестановок. Учитывая любое множество X и набор G биекций X в себя (известных как перестановки), замкнутый под композициями и инверсиями, G-это группа, действующая на X. Если X состоит из n элементов и G состоит из всех перестановок, то G является симметричной группой Sn; в общем случае любая группа перестановок G является подгруппой симметричной группы X. Ранняя конструкция, связанная с Кейли, показывала любую группу как группу перестановок, действующую на саму себя (X = G) посредством левого регулярного представления.

Во многих случаях структура группы перестановок может быть изучена с помощью свойств ее действия на соответствующее множество. Например, таким образом доказывается , что при n ≥ 5чередующаяся группа AN проста, т. е. не допускает никаких собственных нормальных подгрупп. Этот факт играет ключевую роль в невозможности решения общего алгебраического уравнения степени n ≥ 5 в радикалах.
===Матричные группы===

Следующий важный класс групп задается матричными группами, или линейными группами. Здесь G-множество, состоящее из обратимых матриц заданного Порядка n над полем K, замкнутым под произведениями и инверсиями. Такая группа действует на n-мерное векторное пространство KN линейными преобразованиями. Это действие делает матричные группы концептуально подобными группам перестановок ,и геометрия действия может быть с пользой использована для установления свойств группы G.
===Группы преобразований===

Группы перестановок и матричные группы являются частными случаями групп преобразований: групп, которые действуют на некотором пространстве X, сохраняя присущую ему структуру. В случае групп перестановок X-множество; для матричных групп X-векторное пространство. Понятие группы преобразований тесно связано с понятием группы симметрии: группы преобразований часто состоят из всех преобразований, сохраняющих определенную структуру.

Теория групп преобразований образует мост, соединяющий теорию групп с дифференциальной геометрией. Длинная линия исследований, исходящая от Ли и Клейна, рассматривает групповые действия на многообразиях гомеоморфизмами или диффеоморфизмами. Сами группы могут быть дискретными или непрерывными.
===Абстрактные группы===

Большинство групп, рассмотренных на первом этапе развития теории групп, были "конкретными", реализованными через числа, перестановки или матрицы. Только в конце XIX века идея абстрактной группы как совокупности операций, удовлетворяющих определенной системе аксиом, начала обретать силу. Типичный способ определения абстрактной группы-это представление генераторами и отношениями,

    G = ⟨ S | R ⟩ . 

Значительный источник абстрактных групп задается построением факторной группы, или факторной группы, G/H, группы G нормальной подгруппой H. Группы классов алгебраических числовых полей были одними из самых ранних примеров групп факторов, представляющих большой интерес в теории чисел. Если группа G является группой перестановок на множестве X, то факторная Группа G/H больше не действует на X; но идея абстрактной группы позволяет не беспокоиться об этом несоответствии.

Изменение перспективы от конкретных групп к абстрактным делает естественным рассмотрение свойств групп, не зависящих от конкретной реализации, или, говоря современным языком, инвариантных при изоморфизме, а также классов групп с заданным таким свойством: конечных групп, периодических групп, простых групп, разрешимых группи т. д. Вместо того чтобы исследовать свойства отдельной группы, человек стремится установить результаты, применимые ко всему классу групп. Новая парадигма имела первостепенное значение для развития математики: она предвосхитила создание новой парадигмы. абстрактная алгебра в работах Гильберта, Эмиля Артина, Эмми Нетери математиков их школы.[цитата необходима]
===Группы с дополнительной структурой===

Важное уточнение понятия группы происходит, если G наделяется дополнительной структурой, в частности, топологического пространства, дифференцируемого многообразияили алгебраического многообразия. Если групповые операции m (умножение) и i (инверсия),

    '''m : G × G → G , ( g , h ) ↦ g h , i : G → G , g ↦ g − 1 ,''' 

совместимы с этой структурой, то есть они являются непрерывными, гладкими или регулярными (в смысле алгебраической геометрии) отображениями, то G-топологическая группа, группали или алгебраическая группа.

Наличие дополнительной структуры связывает эти типы групп с другими математическими дисциплинами и означает, что в их изучении имеется больше инструментов. Топологические группы образуют естественную область для абстрактного гармонического анализа, тогда как группы Ли (часто реализуемые как группы преобразований) являются основой дифференциальной геометрии и теории унитарных представлений. Некоторые вопросы классификации, которые не могут быть решены в целом, могут быть приближены и разрешены для специальных подклассов групп. Таким образом, компактные связные группы ли были полностью засекречены. Существует плодотворная связь между бесконечными абстрактными группами и топологическими группами: всякий раз , когда группа Γ может быть реализована как решетка в топологической группе G, геометрия и анализ, относящиеся к G, дают важные результаты о Γ. Сравнительно недавнее направление в теории конечных групп использует их связи с компактными топологическими группами (профинитными группами): например, одна p-адическая аналитическая группа G имеет семейство частных, которые являются конечными p-группами различных порядков, и свойства G переводятся в свойства ее конечных частных.
==Разделы теории групп==
===Теория конечных групп===
Основная статья: [[Конечная группа]]

В течение XX века математики очень глубоко исследовали некоторые аспекты теории конечных групп, особенно локальную теорию конечных групп и теорию разрешимых и нильпотентных групп. в результате была достигнута полная классификация конечных простых групп, а это означает, что теперь известны все те простые группы, из которых могут быть построены все конечные группы.

Во второй половине XX века математики , такие как Шевалле и Штейнберг, также расширили наше понимание конечных аналогов классических группи других связанных с ними групп. Одним из таких семейств групп является семейство общих линейных групп над конечными полями. Конечные группы часто возникают при рассмотрении симметрии математических или физические объекты, когда эти объекты допускают только конечное число структурно-сохраняющих преобразований. Теория групп ли, которая может рассматриваться как имеющая дело с "непрерывной симметрией", находится под сильным влиянием ассоциированных групп Вейля. Это конечные группы, порожденные отражениями, которые действуют на конечномерном Евклидовом пространстве. Таким образом, свойства конечных групп могут играть определенную роль в таких предметах, как теоретическая физика и химия.
===Представление групп===
Основная статья: [[Теория представлений]]

Утверждение, что группа G действует на множестве X, означает, что каждый элемент G определяет биективное отображение на множестве X способом, совместимым со структурой группы. Когда X имеет большую структуру, полезно еще больше ограничить это понятие: представление G на векторном пространстве V является групповым гомоморфизмом:

    ρ : G → GL ⁡ ( V ) , 

где GL(V) состоит из обратимых линейных преобразований V. Другими словами, каждому элементу группы g присваивается автоморфизм ρ(g) такой, что ρ(g) ∘ ρ(h) = ρ(gh) для любого h в G.

Это определение может быть понято в двух направлениях, оба из которых дают начало целым новым областям математики. с одной стороны, это может дать новую информацию о группе G: часто групповая операция в G задается абстрактно, но через ρона соответствует умножению матриц, что очень явно. с другой стороны, учитывая хорошо изученную группу, действующую на сложный объект, это упрощает изучение рассматриваемого объекта. Например, если G конечна, то известно, что V выше разлагается на неприводимые части. Эти части, в свою очередь, гораздо легче поддаются управлению, чем целое V (через лемму Шура).

Учитывая группу G, теория представлений затем спрашивает, какие представления G существуют. Существует несколько установок, и используемые методы и полученные результаты в каждом случае довольно различны: теория представлений конечных групп и представления групп Ли являются двумя основными подобластями теории. Совокупность представлений определяется характерами группы . Например, многочлены Фурье можно интерпретировать как символы U (1), группы комплексных чисел абсолютного значения 1, действующих на L2-пространство периодических функций.
===Теория лжи===
Основная статья: [[Теория лжи]]

Группа ли - это группа, которая также является дифференцируемым многообразием, со свойством, что групповые операции совместимы с гладкой структурой. Группы ли названы в честь СофусаЛи, который заложил основы теории групп непрерывного преобразования. Термин groupes de Lie впервые появился на французском языке в 1893 году в диссертации ученика ли Артура Тресса, стр. 3.

Группы ли представляют собой наиболее развитую теорию непрерывной симметрии математических объектов и структур, что делает их незаменимыми инструментами для многих разделов современной математики, а также для современной теоретической физики. Они обеспечивают естественную основу для анализа непрерывных симметрий дифференциальных уравнений (дифференциальная теория Галуа), во многом так же, как группы перестановок используются в теории Галуа для анализа дискретных симметрий алгебраических уравнений. Расширение теории Галуа до случая непрерывных групп симметрии было одной из главных мотиваций ли.
===Комбинаторная и геометрическая теория групп===
Основная статья: [[Геометрическая теория групп]]

Группы могут быть описаны по-разному. Конечные группы можно описать, записав таблицу групп, состоящую из всех возможных умножений g • h. Более компактный способ определения группы-генераторы и отношения, также называемые представлением группы. Учитывая любое множество генераторов F { g i } i ∈ I }, свободная группа, порожденная F, проецируется на группу G. Ядром этой карты называется подгруппа отношений, порожденная некоторым подмножеством D. Представление обычно обозначается ⟨ F ∣ D ⟩ . }, например, групповое представление ⟨ a , b ∣ a b a − 1 b − 1 ⟩  }описывает группу, которая изоморфна Z × Z . {Z} .} Строка, состоящая из символов генератора и их инверсий, называется словом.

Комбинаторная теория групп изучает группы с точки зрения генераторов и отношений.[6] это особенно полезно, когда выполняются предположения конечности, например, конечно порожденные группы или конечно представленные группы (т. е. Кроме того, отношения конечны). Область использует связь графов через их фундаментальные группы. Например, можно показать, что каждая подгруппа свободной группы свободна.

Есть несколько естественных вопросов, возникающих в связи с предоставлением группы по ее представлению. Проблема слова спрашивает, Действительно ли два слова являются одним и тем же элементом группы. Связывая задачу с машинами Тьюринга, можно показать, что в общем случае нет алгоритма, решающего эту задачу. Другая, обычно более сложная, алгоритмически неразрешимая проблема - это проблема группового изоморфизма, которая спрашивает, Действительно ли две группы, заданные различными представлениями, изоморфны. Например, группа с представлением ⟨ x , y ∣ x y x y x = e ⟩ , rangle ,}изоморфна аддитивной группе Z целых чисел, хотя это может быть не сразу очевидно

[[Файл:Срангрупок.JPG|400px|thumb|left|Граф Кэли ⟨ x, y∣ ⟩, свободная группа ранга 2.]]

Геометрическая теория групп атакует эти проблемы с геометрической точки зрения, либо рассматривая группы как геометрические объекты, либо находя подходящие геометрические объекты, на которые действует группа.[8] первая идея уточняется с помощью графа Кэли, вершины которого соответствуют элементам группы, а ребра-правильному умножению в группе. При наличии двух элементов строится метрика слова, заданная длиной минимального пути между элементами. Теорема Милнора и сварка тогда говорит, что данная группа G действует разумным образом на метрическом пространстве X, например компактное многообразие, то G является квазиизометрическим (т. е. выглядит похожим на расстоянии) пространством X.
==Связь групп и симметрии==
Основная статья: [[Группа симметрии]]

Учитывая структурированный объект X любого рода, симметрия - это отображение объекта на самого себя, которое сохраняет структуру. Это происходит во многих случаях, например

*    Если X-множество без дополнительной структуры, то симметрия - это биективное отображение множества на себя, порождающее группы перестановок.
*    Если объект X представляет собой множество точек в плоскости с его метрической структурой или любым другим метрическим пространством, симметрия-это биекция множества к самому себе, которая сохраняет расстояние между каждой парой точек (изометрия). Соответствующая группа называется группой изометрии X.
*    Если вместо этого сохраняются углы, то говорят о конформных картах. Например, конформные отображения порождают Клейновы группы.
*    Симметрии не ограничиваются геометрическими объектами, но включают также алгебраические объекты. Например, уравнение x 2 − 3 = 0 имеет два решения 3 }и − 3 }. В этом случае группа, которая обменивает два корня, является группой Галуа, принадлежащей уравнению. Каждое полиномиальное уравнение в одной переменной имеет группу Галуа, то есть определенную группу перестановок на его корнях.

Аксиомы группы формализуют существенные аспекты симметрии. Симметрии образуют группу: они замкнуты, потому что если вы возьмете симметрию объекта, а затем примените другую симметрию, результат все равно будет симметрией. Тождество, удерживающее объект неподвижным, всегда является симметрией объекта. Существование инверсий гарантируется отменой симметрии, а ассоциативность исходит из того, что симметрии являются функциями на пространстве, а состав функций ассоциативен.

Теорема фрухта гласит, что каждая группа является группой симметрии некоторого графа. Таким образом, каждая абстрактная группа На самом деле является симметрией некоторого явного объекта.

Выражение "сохранение структуры" объекта можно уточнить, работая в категории. Карты, сохраняющие структуру, являются тогда морфизмами, а группа симметрии-группой автоморфизмов рассматриваемого объекта.
==Приложения теории групп==

Приложений теории групп предостаточно. Почти все структуры в абстрактной алгебре являются частными случаями групп. Кольца, например, можно рассматривать как абелевы группы (соответствующие сложению) вместе со второй операцией (соответствующей умножению). Поэтому аргументы теории групп лежат в основе значительной части теории этих сущностей.
===Теория Галуа===
''Основная статья:'' [[Теория Галуа]]

Теория Галуа использует группы для описания симметрий корней многочлена (или, точнее, автоморфизмов алгебр, порожденных этими корнями). Фундаментальная теорема теории Галуа обеспечивает связь между алгебраическими расширениями полей и теорией групп. Он дает эффективный критерий разрешимости полиномиальных уравнений в терминах разрешимости соответствующей группы Галуа. Например, S5, симметричная группа в 5 элементах, не разрешима, что подразумевает, что общее квинтическое уравнение радикалы не могут быть решены так, как уравнения более низкой степени. Эта теория, будучи одним из исторических корней теории групп, все еще плодотворно применяется для получения новых результатов в таких областях, как теория классового поля.
===Алгебраическая топология===
''Основная статья:'' [[Алгебраическая топология]]

Алгебраическая топология-это еще одна область, которая заметно связывает группы с объектами, интересующими теорию. Там группы используются для описания некоторых инвариантов топологических пространств. Их называют "инвариантами", потому что они определены таким образом, что не изменяются, если пространство подвергается некоторой деформации. Например, фундаментальная группа "подсчитывает", сколько путей в пространстве существенно различны. Гипотеза Пуанкаре, доказанная в 2002/2003 годах Григорием Перельманом, является выдающимся применением этой идеи. Однако это влияние не является однонаправленным. Например, алгебраическая топология использует пространства Эйленберга-Маклейна, которые являются пространствами с заданными гомотопическими группами. Аналогично алгебраическая K-теория в некотором роде опирается на классификацию пространств групп. Наконец, название торсионной подгруппы бесконечной группы показывает наследие топологии в теории групп. 

===Алгебраическая геометрия===
''Основная статья:'' [[Алгебраическая геометрия]]

Алгебраическая геометрия также использует теорию групп во многих отношениях. Абелевы многообразия были введены выше. Наличие групповой операции дает дополнительную информацию, которая делает эти разновидности особенно доступными. Они также часто служат тестом для новых догадок.[9] особенно подробно изучен одномерный случай, а именно эллиптические кривые. Они и теоретически, и практически интригуют. в другом направлении торические многообразия-это алгебраические многообразия, на которые действует Тор. Тороидальные вложения в последнее время привели к прогрессу в алгебраической геометрии, в частности разрешение сингулярностей.
===Алгебраическая теория чисел===
''Основная статья:'' [[Алгебраическая теория чисел]]

Алгебраическая теория чисел использует группы для некоторых важных приложений. Например, формула произведения Эйлера,

    '''∑ n ≥ 1 1 n s = ∏ p  prime 1 1 − p − s ,''' 

фиксирует тот факт, что любое целое число уникальным образом разлагается на простыечисла . Неудача этого утверждения для более общих колец приводит к возникновению групп классов и регулярных простыхчисел , которые фигурируют в обработке Куммером последней теоремыФерма .
===Гармонический анализ===
''Основная статья:'' [[Гармонический анализ]]

Анализ групп Ли и некоторых других групп называется гармоническим анализом. Меры Хаара, то есть интегралы, инвариантные при переводе в группу ли, используются для распознавания образов и других методов обработки изображений.
===Комбинаторика===

В комбинаторикепонятие группы перестановок и понятие группового действия часто используются для упрощения подсчета множества объектов; см., В частности, лемму Бернсайда. 

===Музыка===
[[Файл:Снотировкаок.JPG|400px|thumb|right|Круг пятых может быть наделен циклической групповой структурой]]

Наличие 12-периодичности в круге пятых дает приложения элементарной теории групп в теории музыкальных множеств. Трансформационная теория моделирует музыкальные трансформации как элементы математической группы. Девять нот.

===Физика===

В физикегруппы важны, потому что они описывают симметрии, которым, по-видимому, подчиняются законы физики. Согласно теореме Нетера, каждая непрерывная симметрия физической системы соответствует закону сохранения системы. Физики очень интересуются групповыми представлениями, особенно группами ли, поскольку эти представления часто указывают путь к "возможным" физическим теориям. Примеры использования групп в физике включают Стандартную модель, калибровочную теорию, группу Лоренцаи группу Пуанкаре.
===Химия и материаловедение===

В химии и материаловеденииточечные группы используются для классификации правильных многогранников и симметрий молекул, а пространственные группы-для классификации кристаллических структур. Выделенные группы затем могут быть использованы для определения физических свойств (таких как химическая полярность и хиральность), спектроскопических свойств (особенно полезных для рамановской спектроскопии, инфракрасной спектроскопии, круговой дихроизм-спектроскопии, магнитной круговой дихроизм-спектроскопии, УФ/ВИС-спектроскопии и флуоресцентной спектроскопии) и для построения молекулярных орбиталей.

Молекулярная симметрия отвечает за многие физические и спектроскопические свойства соединений и дает соответствующую информацию о том, как протекают химические реакции. Чтобы назначить точечную группу для любой данной молекулы, необходимо найти множество операций симметрии, присутствующих на ней. Операция симметрии - это действие, такое как вращение вокруг оси или отражение через зеркальную плоскость. Другими словами, это операция, которая перемещает молекулу таким образом, что она неотличима от первоначальной конфигурации. В теории групп оси вращения и зеркальные плоскости называются "элементами симметрии". Эти элементы могут быть точкой, линией или плоскостью, относительно которых выполняется операция симметрии. Операции симметрии молекулы определяют конкретную группу точек для этой молекулы. 

[[Файл:Снввооддок.JPG|200px|thumb|left|Молекула воды с осью симметрии]]

В химиисуществует пять важных операций симметрии. 

Это операция тождества (E ), 

операция вращения или правильного вращения (Cn), 

операция отражения (σ), инверсия (i) 

и операция отражения вращения или неправильного вращения (Sn). 

Операция идентификации (е) состоит в том, чтобы оставить молекулу такой, какая она есть. Это эквивалентно любому числу полных оборотов вокруг любой оси. Это симметрия всех молекул, тогда как группа симметрии хиральной молекула состоит только из операции тождества. Операция тождества является характеристикой каждой молекулы, даже если она не имеет симметрии. Вращение вокруг оси (Cn) состоит из вращения молекулы вокруг определенной оси на определенный угол. Это вращение на угол 360°/n, где n-целое число, вокруг оси вращения. Например, если молекула воды вращается на 180° вокруг оси, проходящей через атом кислорода и между атомами водорода, то она находится в той же конфигурации, что и начала. В этом случае n = 2, так как применение его дважды приводит к операции идентификации. В молекулах с более чем одной осью вращения ось Cn, имеющая наибольшее значение n, является осью вращения высшего порядка или главной осью. Например, Боран (BH3), самый высокий порядок оси вращения-C3, поэтому главная ось вращения оси-C3.

В операции отражения (σ) многие молекулы имеют зеркальные плоскости, хотя они могут и не быть очевидными. Операция отражения меняется влево и вправо, как будто каждая точка переместилась перпендикулярно плоскости в положение, точно такое же далекое от плоскости, как и в начале. Когда плоскость перпендикулярна главной оси вращения, она называется σh (горизонтальной). Другие плоскости, содержащие главную ось вращения, называются вертикальными (σv) или двугранными (σd).

Инверсия (i) - более сложная операция. Каждая точка движется через центр молекулы в положение, противоположное исходному положению, и так же далеко от центральной точки, как и в начале. Многие молекулы, которые на первый взгляд кажутся имеющими центр инверсии, этого не делают; например, метан и другие тетраэдры молекулам не хватает инверсионной симметрии. Чтобы увидеть это, возьмите модель метана с двумя атомами водорода в вертикальной плоскости справа и двумя атомами водорода в горизонтальной плоскости слева. Инверсия приводит к появлению двух атомов водорода в горизонтальной плоскости справа и двух атомов водорода в вертикальной плоскости слева. Таким образом, инверсия не является операцией симметрии метана, поскольку ориентация молекулы, следующая за операцией инверсии, отличается от первоначальной ориентации. И последняя операция-это неправильное вращение или операция отражения вращения (Sn) требует поворота на 360° /nс последующим отражением через плоскость, перпендикулярную оси вращения.
===Статистическая механика===

Теория групп может быть использована для разрешения неполноты статистических интерпретаций механики, разработанных Уиллардом Гиббсом, связанных с суммированием бесконечного числа вероятностей для получения значимого решения.
===Криптография===

Очень большие группы простого порядка, построенные в криптографии эллиптических кривых, служат для криптографии с открытым ключом. Криптографические методы такого рода извлекают выгоду из гибкости геометрических объектов, следовательно, их групповых структур, а также сложной структуры этих групп, что делает дискретный логарифм очень трудным для вычисления. Один из самых ранних протоколов шифрования, шифр Цезаря, может также интерпретироваться как (очень простая) групповая операция. Большинство криптографических схем так или иначе используют группы. В частности, обмен ключами Диффи–Хеллмана использует конечные циклические группы. Таким образом, термин групповая криптография относится в основном к криптографическим протоколам, использующим бесконечные неабелевы группы, такие как группа Кос.
Циклическая группа Z26 лежит в основе шифра Цезаря.
==История==
Основная статья: [[История теории групп]]

Теория групп имеет три основных исторических источника: теория чисел, теория алгебраических уравненийи геометрия. Теоретико-числовая нить была начата Леонардом Эйлероми развита работой Гаусса по модульной арифметике и аддитивным и мультипликативным группам, связанным с квадратичными полями. Ранние результаты о группах перестановок были получены Лагранжем, Руффинии Абелем в их поисках общих решений полиномиальных уравнений высокой степени. Эварист Галуа ввел термин "группа" и установил связь, ныне известную как теория Галуа, между зарождающейся теорией групп и теория поля. В геометрии группы сначала стали играть важную роль в проективной геометрии, а затем и в неевклидовой геометрии. Эрлангенская программа Феликса Клейна провозгласила теорию групп организующим принципом геометрии.

Галуа, в 1830-х годах, был первым, кто использовал группы для определения разрешимости полиномиальных уравнений. Артур Кейли и Огюстен Луи Коши продвинули эти исследования дальше, создав теорию групп перестановок. Второй исторический источник для групп связан с геометрическими ситуациями. В попытке разобраться с возможными геометриями (такими как евклидова, гиперболическая или проективная геометрия), используя теорию групп, Феликс Клейн инициировал программу Эрлангена. Софус ли, в 1884 году, начал использовать группы (теперь называемые группамили), присоединенные к аналитическим проблемы. В-третьих, группы сначала неявно, а затем явно использовались в алгебраической теории чисел.

Различная сфера охвата этих ранних источников привела к различным представлениям о группах. Теория групп была унифицирована примерно с 1880 года. С тех пор влияние теории групп постоянно росло, что привело к рождению абстрактной алгебры в начале 20-го века, теории представленийи многих других влиятельных областей спин-оффа. Классификация конечных простых групп-это обширная работа середины 20-го века, классифицирующая все конечные простые группы.
==См. также==

*    [[Список тем теории групп]]
*    [[Примеры групп]]

==Ссылки==

Борель, Арман (1991), линейные алгебраические группы, выпускные тексты по математике, 126 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-0941-6, ISBN 978-0-387-97370-8, MR 1102012
Carter, Nathan C. (2009), Visual group theory, Classroom Resource Materials Series, Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-757-1, MR 2504193
Cannon, John J. (1969), "компьютеры в теории групп: обзор", Communications of the ACM, 12: 3-12, doi:10.1145 / 362835.362837, MR 0290613
Frucht, R. (1939), "Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe", Compositio Mathematica, 6: 239–50, ISSN 0010-437X, archived from the original on 2008-12-01
Голубицкий, Мартин; Стюарт, Ян (2006), "Нелинейная динамика сетей: группоидальный формализм", Булл. Амеры. Математика. Соц. (N. S.), 43 (03): 305-364, doi:10.1090/S0273-0979-06-01108-6, MR 2223010 Показывает преимущество обобщения от группы к группоид.
Judson, Thomas W. (1997), абстрактная Алгебра: теория и приложения Вводный студенческий текст в духе текстов Галлиана или Герстейна, охватывающих группы, кольца, интегральные области, поля и теорию Галуа. Бесплатный загружаемый PDF-файл с открытым исходным кодом GFDL лицензии.
Клейнер, Израиль (1986), "эволюция теории групп: краткий обзор", журнал Mathematics Magazine, 59 (4): 195-215, doi:10.2307 / 2690312, ISSN 0025-570X, JSTOR 2690312, MR 0863090
La Harpe, Pierre de (2000), Topics in geometric group theory, University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-31721-2
Livio, M. (2005), The Equation That Couldn't be Solved: How Mathematical Genius Discovered the Language of Symmetry, Simon & Schuster, ISBN 0-7432-5820-7 Передает практическую ценность теории групп, объясняя, как она указывает на симметрии в физике и других науках.
Мамфорд, Дэвид (1970), Абелевы многообразия, издательство Оксфордского университета, ISBN 978-0-19-560528-0, OCLC 138290
Ронан М., 2006. Симметрия и Чудовище. Издательство Оксфордского Университета. ISBN 0-19-280722-6. Для непрофессиональных читателей. Описывает поиск основных строительных блоков для конечных групп.
Ротман, Джозеф (1994), введение в теорию групп, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-94285-8 Стандартная современная ссылка.
Schupp, Paul E.; Lyndon, Roger C. (2001), Combinatorial group theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-41158-1
Scott, W. R. (1987) [1964], теория групп, Нью-Йорк: Дувр, ISBN 0-486-65377-3 Недорогой и довольно читаемый, но несколько устаревший по акценту, стилю и нотации.
Shatz, Stephen S. (1972), Profinite groups, arithmetic, and geometry, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08017-8, MR 0347778
Weibel, Charles A. (1994). Введение в гомологическую алгебру. Кембриджские исследования по продвинутой математике. 38. Издательство Кембриджского Университета.
* [http://web.bentley.edu/empl/c/ncarter/vgt/ //web.bentley.edu/empl/c/ncarter/vgt/]
* [http://abstract.ups.edu/ /abstract.ups.edu/]

==Читать==
[https://is.theorizeit.org //is.theorizeit.org]

==Пруф==
[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Abstract_groups/ /mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Abstract_groups/]
* [https://archive.is/20120723235509/http://www.bangor.ac.uk/r.brown/hdaweb2.htm /archive.is/20120723235509/http://www.bangor.ac.uk/r.brown/hdaweb2.htm]
* [https://plus.maths.org/content/os/issue48/package/index //plus.maths.org/content/os/issue48/package/index]


[[Категория:Теория групп]]