Калиброванная геометрия

Математическое поле дифференциальной геометрии, калиброванное многообразие является Римановым многообразием (M , g ) размера n, оснащенным дифференциальной p-формой φ (для некоторого 0 ≤ p ≤ n), которая является калибровкой, что означает, что:

• φ замкнуто: d φ = 0, Где d-внешняя производная
• для любого x ∈ M и любого ориентированного p-мерного подпространства ξ из T x M, φ / ξ = λ vol ξ с λ ≤ 1. Здесь vol ξ-объемная форма ξ относительно g .

Установите G x (φ) = {ξ, как указано выше : φ | ξ = vol}}. (Для того чтобы теория была нетривиальной, нам нужно, чтобы G x ( φ ) был непустым.) Пусть G (φ) - объединение G x ( φ) для x в M .

Теория калибровок принадлежит Р. Харви, Б. Лоусону и другим ученым. Гораздо раньше(в 1966 году) Эдмонд Бонан ввел G 2-многообразие и спин (7)-многообразие , построил все параллельные формы и показал, что эти многообразия были Риччи-плоскими. Многообразие кватерниона-Келера было одновременно изучено в 1967 году Эдмондом Бонаном и Вивиан Йох Крейнс, и они построили параллельную 4-форму.

Калиброванные подмногообразия

P-мерное подмногообразие Σ из M называется калиброванным подмногообразием относительно φ ( или просто φ-калиброванным), если T Σ лежит в G (φ ).

Известный однострочный аргумент показывает, что калиброванные P-подмногообразия минимизируют объем в своем классе гомологий . Действительно, предположим, что Σ калибруется, и Σ ' является подмногообразием p в том же классе гомологий. Затем

• ∫ Σ v o l Σ = ∫ Σ φ = ∫ Σ ′ φ ≤ ∫ Σ ′ v o l Σ ′ {

где первое равенство выполняется, потому что Σ калибруется, второе равенство является теоремой Стокса (поскольку φ замкнуто), а неравенство выполняется, потому что φ является калибровкой. Примеры

• На многообразии Келера соответствующие нормированные степени формы Келера являются калибровками, а калиброванные подмногообразия-комплексными подмногообразиями . Это следует из неравенства Виртингера .
• На многообразии Калаби–Яу вещественная часть голоморфной объемной формы (подходяще нормализованной) является калибровкой, а калиброванные подмногообразия являются специальными лагранжевыми подмногообразиями .
• На G 2-многообразии как 3-форма , так и двойная 4-форма Ходжа определяют калибровки. Соответствующие калиброванные подмногообразия называются ассоциативными и коассоциативными подмногообразиями.
• На спиновом(7)-многообразии определяющая 4-форма , известная как форма Кэли, является калибровкой. Соответствующие калиброванные подмногообразия называются подмногообразиями Кэли.