Возврат Ферми–пасты–Улам–Цингоу

В физике задача Ферми–Паста–Улам–Цингоу (FPUT) или ранее задача Ферми-Паста–Проблема Улама была очевидным парадоксом в теории хаоса, заключавшимся в том, что многие достаточно сложные физические системы демонстрировали почти в точности периодическое поведение, называемое повторением Ферми–Пасты–Улама–Цингоу (или Ферми–Паста–Повторение Улама) – вместо ожидаемого эргодического поведения. Это стало неожиданностью, поскольку Энрико Ферми, безусловно, ожидал, что система термализуется за довольно короткое время. То есть ожидалось, что все колебательные моды в конечном итоге проявятся с одинаковой силой, согласно Теорема о равном распределении, или, в более общем смысле, эргодическая гипотеза. Однако здесь была система, которая, казалось, обходила эргодическую гипотезу. Хотя повторяемость легко наблюдать, в конечном итоге стало очевидно, что в течение гораздо, гораздо более длительных периодов времени система в конечном итоге термализуется. Для объяснения поведения системы было предложено несколько конкурирующих теорий, и это остается темой активных исследований.

Первоначальная цель состояла в том, чтобы найти физическую задачу, достойную численного моделирования на тогда еще новом компьютере MANIAC. Ферми чувствовал, что термализация создаст такую проблему. Как таковая, она представляет собой одно из самых ранних применений цифровых компьютеров в математических исследованиях; одновременно неожиданные результаты положили начало изучению нелинейных систем.

Если нелинейности нет (фиолетовый), вся амплитуда в моде останется в этом режиме. Если ввести квадратичную нелинейность в упругую цепь, энергия может распределиться по всем модам, но если вы подождете достаточно долго (две минуты, в этой анимации), вы увидите, что вся амплитуда возвращается в исходный режим.

Эксперимент FPUT[править]

Летом 1953 года Энрико Ферми, Джон Паста, Станислав Улам и Мэри Цингоу провели компьютерное моделирование вибрирующей струны, которое включало нелинейный член (квадратичный в одном тесте, кубический в другом и кусочно-линейное приближение к кубическому в третьем). Они обнаружили, что поведение системы сильно отличалось от того, что подсказывала им интуиция. Энрико Ферми считал, что после многих итераций система будет демонстрировать термализацию, эргодическое поведение, при котором влияние начальных режимов вибрации ослабевает и система становится более или менее случайной, причем все режимы возбуждаются более или менее одинаково. Вместо этого система продемонстрировала очень сложное квазипериодическое поведение. Они опубликовали свои результаты в техническом отчете в Лос-Аламосе в 1955 году. Энрико Ферми умер в 1954 году, и поэтому этот технический отчет был опубликован после смерти Ферми.

В 2020 году журнал National Security Science опубликовал статью о Цингоу, которая включала ее комментарии и исторические размышления о проблеме FPUT. В статье Цингоу говорится: “Я помню, как однажды сидел там с Пастой и Уламом”, когда они проводили мозговой штурм “некоторых задач, которые мы могли бы решить на компьютере, некоторых действительно математических задач”. Они попробовали несколько способов, но, в конце концов, “они пришли к этой вибрирующей струне”.[1]

Эксперимент FPUT был важен как для демонстрации сложности поведения нелинейной системы, так и для оценки ценности компьютерного моделирования при анализе систем.

Изменение названия В оригинальной статье авторами названы Ферми, Паста и Улам (хотя Ферми умер до написания отчета) с выражением признательности Цингоу за ее работу по программированию симуляций "МАНЬЯК". Вклад Мэри Цингу в решение проблемы FPUT в значительной степени игнорировался сообществом, пока Тьерри Доксуа (2008) не опубликовал дополнительную информацию о разработке и не призвал переименовать проблему, чтобы также присвоить ей авторство.

Решетчатая система FPUT Ферми, Паста, Улам и Цингоу смоделировали вибрирующую струну, решив следующую дискретную систему связанных осцилляторов ближайшего соседа. Мы следуем объяснению, приведенному в статье Ричарда Пале. Пусть имеется N осцилляторов, представляющих цепочку длины ℓилл с положениями равновесия � � = � ℎ ,

� = 0 , … , � − 1 {\displaystyle p_{j}=jh,\ j=0,\dots,N-1}, где ℎ = ℓ / ( � − 1 ) {\displaystyle h=\ell /(N-1)} - расстояние между решетками. Тогда положение j-го осциллятора как функция времени равно � � ( � ) = � � + � � ( � ) {\displaystyle X_{j}(t)=p_{j}+x_{j}(t)}, так что � � ( � ) x_j(t) получается смещение от равновесия. В FPUT использовались следующие уравнения движения:

� � ¨ � = � ( � � + 1 + � � − 1 − 2 � � ) [ 1 + � ( � � + 1 − � � − 1 ) ] . {\displaystyle m{\ddot {x}}_{j}=k(x_{j+1}+x_{j-1}-2x_{j})[1 +\alpha (x_{j+1}-x_{j-1})].} Это всего лишь второй закон Ньютона для j-й частицы. Первый фактор � ( � � + 1 + � � −1−2��) {\displaystyle k(x_{j+1}+x_{j-1}-2x_{j})} представляет собой обычную форму закона Гука для силы. Фактор с �\альфа является нелинейной силой. Мы можем переписать это в терминах непрерывных величин, определив �=�/ �{\displaystyle c={\sqrt {\kappa /\rho }}} как скорость волны, где �

�/ℎ {\displaystyle \kappa =k / h} - модуль Юнга струны, а �=�/ℎ3 {\displaystyle \rho =m/h^{3}} - плотность:

�¨�=�2ℎ2(��+1+��−1−2��)[1+(��+1−��−1)]. {\displaystyle {\ddot {x}}_{j}={\frac {c^{2}}{h^{2}}}(x_{j+1}+x_{j-1}-2x_{j})[1 + \alpha (x_{j+1}-x_{j-1})].} Связь с уравнением KdV Пределом континуума определяющих уравнений для струны (с квадратичным силовым членом) является уравнение Кортевега–де Фриза (уравнение KdV).) Открытие этой взаимосвязи и солитонных решений уравнения KdV Мартином Дэвидом Крускалом и Норманом Забуски в 1965 году стало важным шагом вперед в исследовании нелинейных систем. Ниже мы воспроизводим вывод этого предела, который является довольно сложным, как показано в статье Пале. Исходя из "континуальной формы" приведенных выше уравнений решетки, мы сначала определяем u(x, t) как смещение струны в положении x и во времени t. Затем нам понадобится соответствие, чтобы �(��,�) {\displaystyle u(p_{j},t)} было ��(�) x_j(t).

�¨�=�22(��++�−1−2��)[1�(��+1−��−1)]. {\displaystyle {\ddot {x}}_{j}={\frac {c^{2}}{h^{2}}}(x_{j+1}+x_{j-1}-2x_{j})[1 + \alpha (x_{j+1}-x_{j-1})].} Мы можем использовать теорему Тейлора, чтобы переписать второй множитель для малых ℎ h (нижние индексы u обозначают частные производные):

(��+1+��−−2��ℎ2)=�(�+ℎ,�)+�(�−ℎ,�)−2�(�,�)ℎ2=��(�,�)+(ℎ212)��(�,�)+�(ℎ4). {\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {x_{j+1}+x_{j-1}-2x_{j}}{h^{2}}}\right)&={\frac {u(x+h, t)+ u(x-h, t)-2u(x,t)}{h^{2}}}\\&= u_{xx}(x,t)+\left({\frac {h^{2}}{12}}\ справа)u_{xxxx}(x,t)+ O(h^{4}).\end{выровнено}}} Аналогично, второе слагаемое в третьем множителе равно

��+1−��−1)=2�ℎ��(�,�)+(�ℎ33)��(�,�)+�(ℎ5). {\displaystyle \alpha (x_{j+1}-x_{j-1})=2\alpha hu_{x}(x,t)+\left({\frac {\alpha h^{3}}{3}}\ правильно)u_{xxx}(x,t)+ O(h^{5}).} Таким образом, система FPUT является

1�2��−��=(2�ℎ)��+(212)��+�(�ℎ2,ℎ4). {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}u_{tt}-u_{xx}=(2\alpha h)u_{x}u_{xx}+\left({\frac {h^{2}}{12}}\ правильно)u_{xxxx}+ O(\alpha h^{2},h^{4}).} Если бы нужно было сохранить члены только с точностью до O(h) и предположить, что 2�ℎ 2\ альфа h приближается к пределу, результирующее уравнение будет таким, в котором развиваются толчки, чего не наблюдается. Таким образом, также сохраняется член O(h2):

1�2��−��=(2�ℎ)��+(ℎ212)��. {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}u_{tt}-u_{xx}=(2\alpha h)u_{x}u_{xx}+\left({\frac {h^{2}}{12}}\ правильно)u_{xxxx}.} Теперь мы делаем следующие замены, мотивированные разложением решений бегущей волны (обычного волнового уравнения, к которому это сводится, когда �,ℎ \альфа, ч обращается в нуль) на волны, движущиеся влево и вправо, так что мы рассматриваем только волну, движущуюся вправо. Пусть �=�−��,

�=(�ℎ)��,

�(�,�)=�(�,�) {\displaystyle \xi =x-ct,\ \tau =(\alpha h)ct,\ y(\xi ,\tau )=u(x,t)}. При таком изменении координат уравнение принимает вид

��−(�ℎ2)��=−��−(ℎ24�)��. {\displaystyle y_{\xi \tau }-\left({\frac {\alpha h}{2}}\right)y_{\tau \ tau }=-y_{\xi }y_{\xi \xi }-\left({\frac {h}{24\alpha }}\right)y_{\xi \xi \xi }.} Чтобы взять предел континуума, предположим, что он �/ℎ \alpha/h стремится к константе, а �,ℎ \альфа, ч стремится к нулю. Если мы примем �=limℎ→0/(24�) {\displaystyle \delta =\lim _{h\to 0}{\sqrt {h/(24\alpha)}}}, то

��=−��−�2��. {\displaystyle y_{\xi \tau }=-y_{\xi }y_{\xi \xi }-\delta ^{2}y_{\xi \xi \xi }.} Получение �=� �{\displaystyle v=y_{\xi }} результатов в уравнении KdV:

��+��+�2��=0. {\displaystyle v_{\tau }+vv_{\xi }+\delta ^{2}v_{\xi \xi \ xi }=0.} Забуски и Крускал утверждали, что квазипериодичность волн в эксперименте FPUT объясняется тем фактом, что солитонные решения уравнения KdV могут проходить друг через друга, не влияя на асимптотические формы. Короче говоря, термализация не могла произойти из-за определенной "солитонной симметрии" в системе, которая нарушала эргодичность.

Аналогичный набор манипуляций (и приближений) приводит к решетке Тода, которая также известна тем, что является полностью интегрируемой системой. Она также имеет солитонные решения, пары Лакса, и поэтому также может быть использована для аргументации отсутствия эргодичности в модели FPUT.

Пути к термализации[править]

В 1966 году Феликс Израилев и Борис Чириков предположили, что система подвергнется термализации, если будет обеспечено достаточное количество начальной энергии.Идея здесь заключается в том, что нелинейность изменяет дисперсионное соотношение, позволяя иметь место резонансным взаимодействиям, которые будут передавать энергию из одной моды в другую. Обзор таких моделей можно найти у Роберто Ливи и др.. Однако в 1970 году Джозеф Форд и Гэри Х. Лансфорд настаивали на том, что смешивание можно наблюдать даже при сколь угодно малых начальных энергиях. Существует долгая и сложная история подходов к проблеме, см. (частичный) обзор Тьерри Доксуа (2008)

Недавняя работа Мигеля Онорато и др. демонстрирует очень интересный путь к термализации. При переписывании модели FPUT в терминах нормальных режимов нелинейный термин выражается как трехмодовое взаимодействие (используя язык статистической механики, это можно было бы назвать "трехмодовым фононным взаимодействием").) Однако это не резонансное взаимодействие, и, следовательно, не способно передавать энергию из одной моды в другую; оно может генерировать только повторение FPUT. Трехфононное взаимодействие не может привести к термализации системы.

Ключевым моментом, однако, является то, что эти режимы представляют собой комбинации "свободного" и "связанного" режимов. То есть высшие гармоники "привязаны" к фундаментальной, во многом таким же образом, как высшие гармоники в решениях уравнения KdV привязаны к фундаментальной. У них нет собственной динамики, и вместо этого они синхронизированы по фазе с фундаментальной. Термализация, если она присутствует, может быть только среди свободных режимов.

Для получения свободных мод может быть применено каноническое преобразование, которое удаляет все несвободные моды (которые не участвуют в резонансных взаимодействиях). Выполнение этого для системы FPUT приводит к появлению режимов генератора, которые имеют четырехволновое взаимодействие (трехволновое взаимодействие было удалено). Эти квартеты действительно взаимодействуют резонансно, то есть смешивают одновременно четыре режима. Однако, как ни странно, когда в цепочке FPUT всего 16, 32 или 64 узла, эти квартеты изолированы друг от друга. Любой данный режим принадлежит только одному квартету, и энергия не может перетекать из одного квартета в другой. Переходя к взаимодействиям более высоких порядков, отметим шестиволновое взаимодействие, которое является резонансным; более того, каждая мода участвует по меньшей мере в двух различных шестиволновых взаимодействиях. Другими словами, все режимы становятся взаимосвязанными, и энергия будет передаваться между всеми различными режимами.

Трехволновое взаимодействие имеет силу[править]

1/ �{\displaystyle 1/\alpha } (такую же �\альфа , как в предыдущих разделах, выше). Четырехволновое взаимодействие имеет силу 1/2 {\displaystyle 1/\alpha ^{2}}, а шестиволновое взаимодействие имеет силу 1/�4 {\displaystyle 1/\alpha ^{4}}. Основываясь на общих принципах корреляции взаимодействий (вытекающих из иерархии BBGKY), можно ожидать, что время термализации будет равняться квадрату взаимодействия. Таким образом, исходная решетка FPUT (размером 16, 32 или 64) в конечном итоге термализуется в масштабе времени порядка 1/�8 {\displaystyle 1/\alpha ^{8}}: очевидно, что для слабых взаимодействий это становится очень длительным временем �≪1 альфа-версия 1; между тем, повторение FPUT, по-видимому, не ослабевает. Этот конкретный результат справедлив для этих конкретных размеров решетки; резонансные четырехволновые или шестиволновые взаимодействия для разных размеров решетки могут смешивать или не смешивать моды (поскольку зоны Бриллюэна имеют разный размер, и поэтому комбинаторика, волновые векторы которой могут суммироваться до нуля, изменяется).) Общие процедуры для получения канонических преобразований, которые линеаризуют связанные моды, остаются темой активных исследований.