Временная ценность денег

Временная ценность денег-это большая выгода от получения денег сейчас, а не идентичная сумма позже. Он основан на временном предпочтении .

Временная стоимость денег объясняет, почему выплачиваются или зарабатываются проценты: проценты, будь то на банковский депозит или долг , компенсируют вкладчику или кредитору временную стоимость денег.

Это также лежит в основе инвестиций . Инвесторы готовы отказаться от траты своих денег сейчас только в том случае, если они ожидают благоприятной отдачи от своих инвестиций в будущем, такой, что повышенная стоимость, которая будет доступна позже, достаточно высока, чтобы компенсировать предпочтение иметь деньги сейчас; см. требуемую норму прибыли .

Нынешняя стоимость $ 1000, на 100 лет вперед. Кривые представляют собой постоянные ставки дисконтирования в размере 2%, 3%, 5% и 7%.

История

Талмуд (~500 CE) признает временную ценность денег. В Трактате Маккос в Талмуде рассматривается случай, когда свидетели ложно утверждали, что срок кредита составлял 30 дней, тогда как на самом деле он составлял 10 лет. Лжесвидетель должен выплатить разницу в стоимости кредита "в ситуации, когда он должен будет вернуть деньги обратно (в течение) тридцати дней..., и та же самая сумма в ситуации, когда он был бы обязан вернуть деньги обратно (в течение) 10 лет...Разница заключается в сумме, которую показания (ложных) свидетелей пытались заставить заемщика потерять; следовательно, это сумма, которую они должны заплатить."

Это понятие было позднее описано Мартином де Азпилкуэтой (1491-1586) из школы Саламанки .

Расчеты

Временная стоимость денежных проблем включает в себя чистую стоимость денежных потоков в различные моменты времени.

В типичном случае переменными могут быть: сальдо (реальная или номинальная стоимость долга или финансового актива в денежном выражении), периодическая норма процента, число периодов и ряд денежных потоков. (В случае задолженности денежные потоки представляют собой платежи по основному долгу и процентам; в случае финансового актива-это взносы или изъятия из баланса.) В более общем плане денежные потоки не могут быть периодическими, но могут определяться индивидуально. Любая из этих переменных может быть независимой переменной (искомым ответом) в данной задаче. Например, можно знать, что: процент составляет 0,5% за период (в месяц, скажем); количество периодов составляет 60 (месяцев); начальный баланс (долга, в данном случае) составляет 25 000 единиц; и конечный баланс составляет 0 единиц. Неизвестной переменной может быть ежемесячный платеж, который должен заплатить заемщик.

Например, 100 фунтов стерлингов, инвестированные в течение одного года, зарабатывая 5% процентов, будут стоить 105 фунтов стерлингов через один год; поэтому 100 фунтов стерлингов, выплаченных сейчас, и 105 фунтов стерлингов, выплаченных ровно через один год, имеют одинаковую ценность для получателя, который ожидает 5% процентов, предполагая, что инфляция будет равна нулю процентов. То есть 100 фунтов стерлингов, инвестированные в течение одного года под 5% - ный процент, имеют в будущем значение 105 фунтов стерлингов при предположении, что инфляция будет равна нулю процентов.

Этот принцип позволяет для оценки возможного потока доходов в будущем, таким образом, что ежегодные доходы со скидкой , а затем суммируются, обеспечивая единовременное "текущая стоимость" всего доходов трансляция; все стандартные расчеты для временной стоимости денег вытекает из самых основных алгебраическое выражение для текущей стоимости будущей суммы, "со скидкой" по настоящее время на сумму, равную стоимости денег во времени. Например, сумма будущей стоимости F V FV, которая будет получена в течение одного года, дисконтируется по процентной r} Рставке, чтобы дать сумму текущей стоимости P V ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСТВО:

• P V = F V ( 1 + r )

Некоторые стандартные расчеты, основанные на временной стоимости денег являются:

   Текущая стоимость: текущая стоимость будущей суммы денег или потока денежных потоков с учетом указанной нормы прибыли . Будущие денежные потоки "дисконтируются" по ставке дисконтирования; чем выше ставка дисконтирования, тем ниже текущая стоимость будущих денежных потоков. Определение соответствующей ставки дисконтирования является ключом к правильной оценке будущих денежных потоков, будь то доходы или обязательства.

• Приведенная стоимость ренты: рента представляет собой серию равных платежей или поступлений, которые происходят через равные промежутки времени. Аренда и арендные платежи являются примерами. Платежи или поступления происходят в конце каждого периода для обычной ренты, в то время как они происходят в начале каждого периода для причитающейся ренты.

1. Приведенная стоимость бессрочности - это бесконечный и постоянный поток идентичных денежных потоков.

1. Будущая стоимость: стоимость актива или денежных средств на указанную дату в будущем, основанная на стоимости этого актива в настоящем.
2. Будущая стоимость ренты (FVA) : будущая стоимость потока платежей (рента), предполагающая, что платежи инвестируются по заданной процентной ставке.

Существует несколько основных уравнений, которые представляют собой перечисленные выше равенства. Решения могут быть найдены с помощью (в большинстве случаев) формул, финансового калькулятора или электронной таблицы . Формулы запрограммированы в большинстве финансовых калькуляторов и нескольких функций электронной таблицы (таких как PV, FV, RATE, NPER и PMT).

Для любого из приведенных ниже уравнений формула также может быть перестроена для определения одной из других неизвестных величин. В случае стандартной формулы аннуитета нет никакого алгебраического решения для процентной ставки в закрытой форме (хотя финансовые калькуляторы и программы электронных таблиц могут легко определять решения с помощью быстрых алгоритмов проб и ошибок).

Эти уравнения часто объединяются для определенных целей. Например, облигации могут быть легко оценены с помощью этих уравнений. Типичная купонная облигация состоит из двух видов платежей: поток купонных платежей, подобный аннуитету, и единовременный возврат капитала в конце срока погашения облигации-то есть будущий платеж. Эти две формулы могут быть объединены для определения текущей стоимости облигации.

Важно отметить, что процентная ставка i - это процентная ставка за соответствующий период. Для аннуитета, который составляет один платеж в год, я буду годовой процентной ставкой. Для потока доходов или платежей с другим графиком платежей процентная ставка должна быть преобразована в соответствующую периодическую процентную ставку. Например, ежемесячная ставка по ипотеке с ежемесячными платежами требует, чтобы процентная ставка была разделена на 12 (см. пример ниже). Дополнительные сведения о преобразовании различных периодических процентных ставок см. В разделе Сложные проценты%.

Норма прибыли в расчетах может быть либо переменной, решаемой Для, или предопределенной переменной, которая измеряет ставку дисконтирования, процент, инфляцию, норму прибыли, стоимость собственного капитала, стоимость долга или любое количество других аналогичных понятий. Выбор подходящей ставки имеет решающее значение для упражнения, и использование неправильной ставки дисконтирования сделает результаты бессмысленными.

Для расчетов, связанных с аннуитетами, необходимо решить, производятся ли платежи в конце каждого периода (известного как обычная рента) или в начале каждого периода (известного как подлежащая выплате рента). При использовании финансового калькулятора или электронной таблицы он обычно может быть установлен для любого расчета. Ниже приведены формулы для обычной ренты. Для ответа на вопрос о текущей стоимости причитающейся ренты, PV обычной ренты можно умножить на (1 + i).

Формула

Следующая формула использует эти общие переменные:

• PV - это значение в момент времени=0 (настоящее значение)
• FV - это значение в момент времени= n (будущее значение)
• A - значение индивидуальных платежей в каждом периоде компаундирования
• n - это количество периодов (не обязательно целое число)
• i-процентная ставка, по которой сумма составляет каждый период;
• g-это растущая скорость платежей в течение каждого периода времени

Будущее значение настоящей суммы

Формула будущего значения ( FV ) аналогична и использует те же переменные.

• F V = P V ⋅ ( 1 + i ) n

Настоящее значение будущей суммы

Формула приведенной стоимости является основной формулой для временной стоимости денег; каждая из других формул получена из этой формулы. Например, формула аннуитета представляет собой сумму ряда расчетов текущей стоимости.

Формула приведенного значения (PV ) имеет четыре переменные, каждая из которых может быть решена численными методами:

• P V = F V ( 1 + i ) n

Совокупная приведенная стоимость будущих денежных потоков может быть рассчитана путем суммирования вкладов FV t, величина денежного потока в момент времени t:

• P V = ∑ t = 1 n F V t ( 1 + i ) t

Обратите внимание , что этот ряд может быть суммирован для заданного значения n, или когда n равно ∞. это очень общая формула, которая приводит к нескольким важным частным случаям, приведенным ниже.

Приведенная стоимость аннуитета для n платежных периодов

В этом случае значения денежного потока остаются неизменными на протяжении n периодов. Приведенное значение формулы аннуитета (PVA) имеет четыре переменные, каждая из которых может быть решена для численных методов:

• P V ( A ) = A i ⋅ [ 1 − 1 ( 1 + i ) n ]

Чтобы получить PV причитающейся ренты , умножьте приведенное выше уравнение на (1 + i).

Текущая стоимость растущей ренты

В этом случае каждый денежный поток растет с коэффициентом (1+ g ). Аналогично формуле для ренты, приведенная стоимость растущей ренты (PVGA) использует те же переменные с добавлением g, что и скорость роста ренты (а-выплата ренты в первом периоде). Это расчет, который редко предоставляется на финансовых калькуляторах.

Где i ≠ g :

• P V ( A ) = A ( i − g ) [ 1 − ( 1 + g 1 + i ) n ]

Где i = g :

• P V ( A ) = A × n 1 + i

Чтобы получить PV растущей ренты , умножьте приведенное выше уравнение на (1 + i).

Текущая стоимость бессрочного права собствености

Бессрочность-это выплаты определенной суммы денег, которые происходят на регулярной основе и продолжаются вечно. Когда n → ∞, PV формулы вечности (вечной ренты) становится простым делением.

• P V ( P ) = A i

Текущая стоимость растущего бессрочного фонда

Когда бессрочный аннуитетный платеж растет с фиксированной скоростью ( g , при g < i), величина определяется по следующей формуле, полученной путем установки n на бесконечность в предыдущей формуле для растущего бессрочного платежа:

• P V ( A ) = A i − g

На практике существует мало ценных бумаг с точными характеристиками, и применение такого подхода к оценке подлежит различным квалификациям и модификациям. Самое главное, что редко можно найти растущую вечную ренту с фиксированными темпами роста и истинной вечной генерацией денежного потока. Несмотря на эти оговорки, общий подход может быть использован при оценке недвижимости, акций и других активов.

Это хорошо известная модель роста Гордона, используемая для оценки стоимости акций .

Будущая стоимость аннуитета

Будущее значение (после n периодов) формулы аннуитета (FVA) имеет четыре переменные, каждая из которых может быть решена для численных методов:

• F V ( A ) = A ⋅ ( 1 + i ) n − 1 i

Чтобы получить FV причитающейся ренты, умножьте приведенное выше уравнение на (1 + i).

Будущая стоимость растущей ренты

Будущее значение (после n периодов) формулы растущей ренты (FVA) имеет пять переменных, каждая из которых может быть решена для численных методов:

Где i ≠ g :

• F V ( A ) = A ⋅ ( 1 + i ) n − ( 1 + g ) n i − g

Где i = g :

• F V ( A ) = A ⋅ n ( 1 + i ) n − 1

Таблица формул

В следующей таблице приведены различные формулы, обычно используемые при расчете временной стоимости денег. Эти значения часто отображаются в таблицах, где указаны процентная ставка и время.

оп

Примечания:

• A-фиксированная сумма платежа, каждый период
• G-начальная сумма платежа увеличивающейся суммы платежа, которая начинается с G и увеличивается на G для каждого последующего периода.
• D-начальная сумма платежа экспоненциально (геометрически) увеличивающейся суммы платежа, которая начинается в точке D и увеличивается с коэффициентом (1+ g ) в каждом последующем периоде.

Деривации

Вывод ренты

Формула для текущей стоимости регулярного потока будущих платежей (аннуитет) выводится из суммы формулы для будущей стоимости одного будущего платежа, как показано ниже, где C-сумма платежа, а n-период.

Единичный платеж C в будущем времени m имеет следующее будущее значение в будущем времени n:

• F V = C ( 1 + i ) n − m

Суммирование всех платежей от времени 1 до времени n, а затем реверсирование t

• F V A = ∑ m = 1 n C ( 1 + i ) n − m = ∑ k = 0 n − 1 C ( 1 + i ) k

Обратите внимание , что это геометрический ряд , с начальным значением a = C , мультипликативным фактором 1 + i, с n членами. Применяя формулу для геометрических рядов, получаем

• F V A = C ( 1 − ( 1 + i ) n ) 1 − ( 1 + i ) = C ( 1 − ( 1 + i ) n ) − i

Приведенная стоимость ренты (PVA) получается простым делением на ( 1 + i ) n {\displaystyle (1+i)^{n}} (1+i)^n:

• P V A = F V A ( 1 + i ) n = C i ( 1 − 1 ( 1 + i ) n )

Другой простой и интуитивно понятный способ определения будущей стоимости ренты-это рассмотрение дарения, проценты с которого выплачиваются в качестве ренты и основная сумма которого остается постоянной. Принципал этого гипотетического пожертвования может быть вычислен как тот, процент которого равен сумме аннуитетного платежа:

• Principal × i = C {Принципал} \times i = C

• Principal = C / i + g o a l {цель}

Обратите внимание, что никакие деньги не входят и не выходят из объединенной системы основного капитала эндаумента + накопленных аннуитетных платежей, и поэтому будущая стоимость этой системы может быть вычислена просто по формуле будущей стоимости:

• F V = P V ( 1 + i ) n

Изначально, перед любыми платежами, приведенная стоимость системы - это только Принципал эндаумента ( P V = C / i . В конце концов, будущая стоимость-это основной капитал эндаумента (который является тем же самым) плюс будущая стоимость общих аннуитетных платежей ( F V = C / i + F V A ). Подключив это обратно в уравнение:

• C i + F V A = C i ( 1 + i ) n

• F V A = C i [ ( 1 + i ) n − 1 ]

Вывод вечности

вывод средств на бессрочный срок

Не показывая здесь формального вывода, формула бессрочности выводится из Формулы ренты. В частности, термин:

• ( 1 − 1 ( 1 + i ) n ) }\справа)

можно видеть, что приближается к значению 1, Когда n становится больше. На Бесконечности он равен 1, оставляя C i } в качестве единственного оставшегося члена.

Непрерывное смешивание

Ставки иногда преобразуются в эквивалент непрерывной составной процентной ставки, поскольку непрерывный эквивалент является более удобным (например, более легко дифференцируемым). Каждая из приведенных выше формул может быть повторена в их непрерывных эквивалентах. Например, текущая стоимость в момент времени 0 будущего платежа в момент времени t может быть пересчитана следующим образом, где e-это основание натурального логарифма, а r-это непрерывно складывающаяся ставка:

• PV = FV ⋅ e − r t

Это можно обобщить на ставки дисконтирования, изменяющиеся во времени: вместо постоянной ставки дисконтирования r используется функция времени r (t ). В этом случае коэффициент дисконтирования, а следовательно, и приведенная стоимость денежного потока в момент времени T задаются интегралом непрерывно складывающегося курса r ( t):

• PV = FV ⋅ exp ⁡ ( − ∫ 0 T r ( t ) d t )

Действительно, ключевой причиной для использования непрерывного компаундирования является упрощение анализа различных ставок дисконтирования и возможность использования инструментов исчисления. Кроме того, для Процентов, начисленных и капитализированных за ночь (следовательно, ежедневно смешиваемых), непрерывное смешивание является близким приближением к фактическому ежедневному смешиванию. Более сложный анализ включает использование дифференциальных уравнений, как подробно описано ниже.

Примеры

Использование непрерывного компаундирования дает следующие формулы для различных инструментов:

Аннуитет

• P V = A ( 1 − e − r t ) e r − 1

Вечность

• P V = A e r − 1

Растущая аннуитет

• P V = A e − g ( 1 − e − ( r − g ) t ) ( r − g ) − 1 {\displaystyle \ PV\ =\ {Ae^{-g}(1-e^{-(r-g)t}) \over ^{(r-g)}-1}}

Растущая вечность

• P V = A e − g e ( r − g ) − 1

Аннуитет с непрерывными платежами

• P V = 1 − e ( − r t ) r

Эти формулы предполагают, что платеж A производится в первый платежный период и аннуитет заканчивается в момент времени t.

Дифференциальные уравнения

Обыкновенные и частные дифференциальные уравнения (оду и Пдэ) – уравнения, включающие производные и одну (соответственно, несколько) переменных, повсеместно используются в более продвинутых методах финансовой математики . Хотя временная ценность денег может быть понята без использования рамок дифференциальных уравнений, добавленная сложность проливает дополнительный свет на значение времени и обеспечивает простое введение перед рассмотрением более сложных и менее знакомых ситуаций. Эта экспозиция приводится ниже ( Carr & Flesaker 2006, PP. 6-7).

Фундаментальное изменение, которое приносит перспектива дифференциального уравнения, заключается в том, что вместо вычисления числа (настоящее значение сейчас) вычисляется функция (настоящее значение сейчас или в любой момент в будущем ). Затем эта функция может быть проанализирована—как ее значение изменяется с течением времени-или сравнена с другими функциями.

Формально утверждение ,что "значение уменьшается с течением времени", задается путем определения линейного дифференциального оператора L }}как:

• L := − ∂ t + r ( t ) .

Это означает, что значения уменьшаются (−) с течением времени (∂ t ) по ставке дисконтирования ( r ( t )). Приложенный к функции он производит:

• L f = − ∂ t f ( t ) + r ( t ) f ( t ) .

Для инструмента оплата трансляция описывается ф(т), значение в(Т) удовлетворяет неоднородным первого порядка оду L V = f ("неоднородный" - это потому, что Ф , а не 0, и "первого порядка" - потому что один имеет первые производные, но не выше производные) – это кодирует тем, что при любой денежный поток возникает, стоимость инструмента изменяется на величину денежных потоков (если вы получите £10 купона, оставшаяся стоимость уменьшается ровно на £10).

Стандартным инструментом метода в анализе ОД является функция Грина, из которой можно построить другие решения. С точки зрения временной стоимости денег, функция Грина (для временной стоимости ODE) – это стоимость облигации, выплачивающей £1 в один момент времени u-значение любого другого потока денежных потоков может быть получено, взяв комбинации этого основного денежного потока. В математических терминах этот мгновенный денежный поток моделируется как Дельта-функция Дирака δ u ( t ) := δ ( t − u ) .

Функция Грина для значения в момент времени t денежного потока £1 в момент времени u равна

• b ( t ; u ) := H ( u − t ) ⋅ exp ⁡ ( − ∫ t u r ( v ) d v )

где H-шаговая функция Heaviside-обозначение " ; u {\displaystyle ;u} ;у" должно подчеркнуть, что u—параметр (фиксированный в любом случае-время, когда произойдет денежный поток), в то время как t-переменная (время). Другими словами, будущие денежные потоки экспоненциально дисконтируются (exp) на сумму (Интеграл, ∫ будущих ставок дисконтирования ( ∫ t u для будущего, r ( v ) для ставок дисконтирования), в то время как прошлые денежные потоки стоят 0 ( H ( u − t ) = 1 if t < u , 0 if t > u потому что они уже произошли. Обратите внимание, что значение на момент денежного потока не является четко определенным – в этой точке существует разрыв, и можно использовать соглашение (предположим, что денежные потоки уже произошли или еще не произошли), или просто не определять значение в этой точке.

В случае если ставка дисконтирования постоянна, r ( v ) ≡ r , ,это упрощает к

• b ( t ; u ) = H ( u − t ) ⋅ e − ( u − t ) r = { e − ( u − t ) r t < u 0 t > u ,

где ( u − t ) (u-t)находится "время, оставшееся до денежного потока".

Таким образом, для потока денежных потоков f ( u), заканчивающегося к моменту времени T (который может быть установлен T = + ∞ \inftyдля любого временного горизонта), значение в момент времени t V ( t ; T ) )задается путем объединения значений этих отдельных денежных потоков:

• V ( t ; T ) = ∫ t T f ( u ) b ( t ; u ) d u .

Это формализует временную ценность денег для будущих значений денежных потоков с различными ставками дисконтирования и является основой многих формул в финансовой математике, таких как формула Блэка–Шоулза с различными процентными ставками .

Смотрите также

• Актуарная наука
• Дисконтированный денежный поток
• Рост доходов
• Экспоненциальный рост
• Финансы
• Гиперболическое дисконтирование
• Внутренняя норма доходности
• Чистая приведенная стоимость
• Значение времени опции
• Реальная и номинальная стоимость (экономика)

Читать

.moneypedia.de/

Пруф

/studyfinance.com/time-value/

• .swlearning.com/finance/brigham/ifm8e/web_chapters/webchapter28.pdf
• /youtu.be/9xp0Akw6V7w