Гармонический осциллятор
Эта статья посвящена гармоническому осциллятору в классической механике. Для его использования в квантовой механике см. Квантовый гармонический генератор .
В классической механике гармонический генератор-это система, которая при смещении из положения равновесия испытывает восстанавливающую силу F , пропорциональную смещению x:
F → = − k x → ,
где k-положительная постоянная .
Если F-единственная сила, действующая на систему, то система называется простым гармоническим осциллятором , и она претерпевает простое гармоническое движение : синусоидальные колебания около точки равновесия, с постоянной амплитудой и постоянной частотой (которая не зависит от амплитуды).
Если также присутствует сила трения ( затухание), пропорциональная скорости, то гармонический генератор описывается как затухающий генератор . В зависимости от коэффициента трения, система может:
- Осциллируйте с частотой более низкой чем в undamped случае, и амплитудой уменьшая с временем ( underdamped генератором).
- Распад до положения равновесия, без колебаний (перегруженный генератор).
Граничное решение между недогруженным осциллятором и перегруженным осциллятором возникает при определенном значении коэффициента трения и называется критически затухающим .
Если присутствует внешняя временн-зависимая сила, то гармонический генератор описан как управляемый генератор .
Механические примеры включают маятники (с малыми углами смещения ), массы , связанные с пружинами, и акустические системы . Другие аналогичные системы включают электрические гармонические генераторы, такие как RLC-цепи . Модель гармонического осциллятора очень важна в физике, потому что любая масса, подверженная силе в устойчивом равновесии, действует как гармонический осциллятор для малых колебаний. Гармонические генераторы широко распространены в природе и используются во многих искусственных устройствах, таких как часы и радиосхемы. Они являются источником практически всех синусоидальных колебаний и волн.
Простой генератор гармоник[править]
Основная статья: Простое гармоническое движение
Простой гармонический генератор-это генератор, который не управляется и не демпфируется . Она состоит из массы m, которая испытывает единственную силу F, которая тянет массу в направлении точки x = 0 и зависит только от положения X массы и постоянной k . Баланс сил (второй закон Ньютона ) для данной системы является
F = m a = m d 2 x d t 2 = m x ¨ = − k x .
Решая это дифференциальное уравнение, находим, что движение описывается функцией
x ( t ) = A cos ( ω t + φ ) ,
где
ω = k m .
Движение является периодическим , повторяющимся в синусоидальной форме с постоянной амплитудой A . Кроме своей амплитуды, движение простого гармонического генератора характеризуется его периодом T = 2 π / ω }, временем для одного колебания или его частотой f = 1 / T , числом циклов в единицу времени. Положение в данный момент времени t также зависит от фазы φ , которая определяет начальную точку на синусоиде. Период и частота определяются величиной массы m и постоянной силы k, в то время как амплитуда и фаза определяются начальным положением и скоростью .
Скорость и ускорение простого гармонического осциллятора колеблются с той же частотой, что и положение, но со смещенными фазами. Скорость максимальна для нулевого смещения, в то время как ускорение находится в направлении, противоположном смещению.
Потенциальная энергия, хранящаяся в простом гармоническом генераторе в положении x, равна
U = 1 2 k x 2 .
Затухающий гармонический генератор[править]
Основная статья: Коэффициент демпфирования
Демпфированный генератор гармонических колебаний В реальных осцилляторах трение или демпфирование замедляют движение системы. Из-за силы трения скорость уменьшается пропорционально действующей силе трения. В то время как в простом непривязанном гармоническом осцилляторе единственная сила, действующая на массу, - это восстанавливающая сила, в затухающем гармоническом осцилляторе есть еще и сила трения, которая всегда находится в направлении, противоположном движению. Во многих колебательных системах сила трения F f может быть смоделирована как пропорциональная скорости V объекта: F f = - cv, где c называется коэффициентом вязкого демпфирования .
Тогда баланс сил (второй закон Ньютона ) для затухающих гармонических осцилляторов равен
F = − k x − c d x d t = m d 2 x d t 2 ,
который можно переписать в форму
d 2 x d t 2 + 2 ζ ω 0 d x d t + ω 0 2 x = 0 ,
где
ω 0 = k m называется " незатухающая угловая частота генератора",
ζ = c 2 m k называется "коэффициент демпфирования".
Значение коэффициента затухания ζ критически определяет поведение системы. Демпфированный гармонический генератор может быть:
- Overdamped (ζ > 1): система возвращается (>экспоненциально распадается ) в устойчивое состояние без колебаний. Большие значения коэффициента затухания ζ возвращаются к равновесию медленнее.
- Критическое затухание (ζ = 1): система возвращается в стационарное состояние как можно быстрее без колебаний (хотя может произойти и превышение). Это часто пожелано для амортизировать систем как двери.
- Недоделанный ( ζ Угловая частота недемпфированного гармонического генератора задается ω 1 = ω 0 1 − ζ 2 , },экспоненциальным затуханием недемпфированного гармонического генератора задается по формуле λ = ω 0 ζ .
Добротность затухающего генератора определяется как
Q = 2 π × energy stored energy lost per cycle . {текст{накопленная энергия}}{\text{энергия, потерянная за цикл}}}.}
Q связано с коэффициентом затухания по уравнению Q = 1 2 ζ .
Управляемые гармонические генераторы[править]
Управляемые гармонические генераторы-это демпфированные генераторы, на которые дополнительно воздействует внешняя приложенная сила F (t ).
Второй закон Ньютона принимает вид:
F ( t ) − k x − c d x d t = m d 2 x d t 2 .
Он обычно переписывается в форму
d 2 x d t 2 + 2 ζ ω 0 d x d t + ω 0 2 x = F ( t ) m .
Это уравнение может быть решено точно для любой движущей силы, используя решения z (t ), удовлетворяющие непринужденному уравнению
d 2 z d t 2 + 2 ζ ω 0 d z d t + ω 0 2 z = 0 ,
и которые можно выразить как затухающие синусоидальные колебания:
z ( t ) = A e − ζ ω 0 t sin ( 1 − ζ 2 ω 0 t + φ ) ,
в том случае, когда ζ ≤ 1. Амплитуда A и фаза φ определяют поведение, необходимое для соответствия начальным условиям.
Шаг ввода[править]
Смотрите также: Шаг ответа
В случае ζ < 1 и единичного шага ввода с x (0) = 0:
F ( t ) m = { ω 0 2 t ≥ 0 0 t < 0
решение заключается в следующем
x ( t ) = 1 − e − ζ ω 0 t sin ( 1 − ζ 2 ω 0 t + φ ) sin ( φ ) ,
с фазой φ, заданной по
cos φ = ζ .
Время, необходимое осциллятору для адаптации к изменившимся внешним условиям, имеет порядок τ = 1/ (ζω 0 ). В физике адаптация называется релаксацией, а τ-временем релаксации.
В электротехнике кратность τ называется временем установления, т. е. временем, необходимым для обеспечения того, чтобы сигнал находился в пределах фиксированного отклонения от конечного значения, как правило, в пределах 10%. Термин overshoot относится к степени, в которой максимальное значение ответа превышает конечное значение, а undershoot-к степени, в которой ответ падает ниже конечного значения в течение времени, следующего за максимумом ответа.
Синусоидальная движущая сила[править]
В случае синусоидальной движущей силы:
d 2 x d t 2 + 2 ζ ω 0 d x d t + ω 0 2 x = 1 m F 0 sin ( ω t ) ,
где F 0 }находится управляющая амплитуда, а ω \омега также управляющая частота для синусоидального приводного механизма. Этот тип системы появляется в управляемых AC цепях RLC (резистор-индуктор-конденсатор) и управляемых системах весны имея внутреннее механически сопротивление или внешнее воздушное сопротивление .
Общее решение представляет собой сумму переходного решения, зависящего от начальных условий, и стационарного состояния , которое не зависит от начальных условий и зависит только от амплитуды движения F 0 }, частоты ω \омега движения , незатухающей угловой частоты ω 0 }и коэффициента затухания ζ \дзета .
Стационарное решение пропорционально движущей силе с индуцированным изменением фазы φ \varphi :
x ( t ) = F 0 m Z m ω sin ( ω t + φ ) ,
где
Z m = ( 2 ω 0 ζ ) 2 + 1 ω 2 ( ω 0 2 − ω 2 ) 2
является абсолютным значением импеданса или линейной функции отклика, и
φ = arctan ( 2 ω ω 0 ζ ω 2 − ω 0 2 ) + n π
является фазой колебания относительно движущей силы. Значение фазы обычно принимается в диапазоне от -180° до 0 (то есть оно представляет собой запаздывание фазы, как для положительных, так и для отрицательных значений аргумента arctan).
Для определенной частоты движения , называемой резонансной или резонансной частотой ω r = ω 0 1 − 2 ζ 2 , амплитуда (для заданной F 0 ) максимальна. Этот резонансный эффект возникает только тогда, когда ζ < 1 / 2 , т. е. для значительно недогруженных систем. Для сильно недогруженных систем значение амплитуды может стать достаточно большим вблизи резонансной частоты.
Переходные решения являются такими же, как и unforced ( F 0 = 0 затухающий гармонический генератор, и представляют собой реакцию систем на другие события, которые произошли ранее. Переходные решения обычно отмирают достаточно быстро, чтобы их можно было игнорировать.
Параметрические генераторы[править]
Основная статья: Параметрический генератор
Параметрический генератор-это управляемый гармонический генератор, в котором энергия привода обеспечивается за счет изменения параметров генератора, таких как демпфирующая или восстанавливающая сила. Знакомым примером параметрических колебаний является "качание" на качели детской площадки . Человек на движущихся качелях может увеличивать амплитуду колебаний качелей без приложения какой-либо внешней движущей силы (толчков), изменяя момент инерции качания путем раскачивания взад и вперед ("качалки") или попеременно стоя и сидя на корточках, в ритме колебаний качелей. Варьирование параметров приводит систему в движение. Примерами параметров, которые могут быть изменены, являются его резонансная частота ω \омега и демпфирование β \бета .
Параметрические генераторы используются во многих приложениях. Классический варакторный параметрический генератор колеблется при периодическом изменении емкости диода. Схема, которая изменяет емкость диода называется "насос"или " драйвер". В СВЧ-электронике параметрические генераторы на основе волноводов / YAG работают таким же образом. Конструктор периодически изменяет параметр, чтобы вызвать колебания.
Параметрические генераторы были разработаны в качестве малошумящих усилителей, особенно в радио-и микроволновом диапазоне частот. Тепловой шум минимален, так как изменяется реактивное сопротивление (а не сопротивление). Другим распространенным использованием является преобразование частоты, например, преобразование звука в радиочастоты. Например, оптический параметрический генератор преобразует входную лазерную волну в две выходные волны более низкой частоты ( ω s , ω i .
Параметрический резонанс возникает в механической системе, когда система параметрически возбуждается и колеблется на одной из своих резонансных частот. Параметрическое возбуждение отличается от форсирования, так как действие проявляется как изменяющаяся во времени модификация системного параметра. Этот эффект отличается от обычного резонанса тем, что он проявляет явление нестабильности.
Уравнение универсального осциллятора[править]
Уравнение
d 2 q d τ 2 + 2 ζ d q d τ + q = 0
известен как уравнение универсального осциллятора, так как все линейные колебательные системы второго порядка могут быть сведены к этой форме.[нужная цитата ] Это делается через неразмещение .
Если функция форсирования равна f (t) = cos (wt) = cos( wt c τ) = cos (ωτ ), где ω = wt c, то уравнение становится
d 2 q d τ 2 + 2 ζ d q d τ + q = cos ( ω τ ) .
Решение этого дифференциального уравнения содержит две части:" переходную "и"установившуюся".
Переходное решение[править]
Решение основано на решении обыкновенного дифференциального уравнения для произвольных констант c 1 и c 2
q t ( τ ) = { e − ζ τ ( c 1 e τ ζ 2 − 1 + c 2 e − τ ζ 2 − 1 ) ζ > 1 (overdamping) e − ζ τ ( c 1 + c 2 τ ) = e − τ ( c 1 + c 2 τ ) ζ = 1 (critical damping) e − ζ τ [ c 1 cos ( 1 − ζ 2 τ ) + c 2 sin ( 1 − ζ 2 τ ) ] ζ < 1 (underdamping)
Переходное решение не зависит от форсирующей функции.
Стационарное решение[править]
Примените "метод комплексных переменных", решив приведенное ниже вспомогательное уравнение, а затем найдя действительную часть его решения:
d 2 q d τ 2 + 2 ζ d q d τ + q = cos ( ω τ ) + i sin ( ω τ ) = e i ω τ .
Предположим, что решение имеет вид
q s ( τ ) = A e i ( ω τ + φ ) .
Его производные от нуля до второго порядка являются
q s = A e i ( ω τ + φ ) , d q s d τ = i ω A e i ( ω τ + φ ) , d 2 q s d τ 2 = − ω 2 A e i ( ω τ + φ ) .
Подставляя эти величины в дифференциальное уравнение, получаем
− ω 2 A e i ( ω τ + φ ) + 2 ζ i ω A e i ( ω τ + φ ) + A e i ( ω τ + φ ) = ( − ω 2 A + 2 ζ i ω A + A ) e i ( ω τ + φ ) = e i ω τ .
Деление на экспоненциальный член слева приводит к следующим результатам:
− ω 2 A + 2 ζ i ω A + A = e − i φ = cos φ − i sin φ .
Приравнивание действительной и мнимой частей приводит к двум независимым уравнениям
A ( 1 − ω 2 ) = cos φ , 2 ζ ω A = − sin φ .
Амплитудная часть[править]
Возведение в квадрат обоих уравнений и сложение их вместе дает
A 2 ( 1 − ω 2 ) 2 = cos 2 φ ( 2 ζ ω A ) 2 = sin 2 φ } ⇒ A 2 [ ( 1 − ω 2 ) 2 + ( 2 ζ ω ) 2 ] = 1.
Следовательно,
A = A ( ζ , ω ) = sign ( − sin φ 2 ζ ω ) 1 ( 1 − ω 2 ) 2 + ( 2 ζ ω ) 2 .
Сравните этот результат с разделом теории резонанса, а также с "магнитудной частью" схемы RLC . Эта амплитудная функция особенно важна при анализе и понимании частотной характеристики систем второго порядка.
Часть фазы[править]
Чтобы решить для φ, разделите оба уравнения, чтобы получить
tan φ = − 2 ζ ω 1 − ω 2 = 2 ζ ω ω 2 − 1 ⇒ φ ≡ φ ( ζ , ω ) = arctan ( 2 ζ ω ω 2 − 1 ) + n π .
Эта фазовая функция особенно важна при анализе и понимании частотной характеристики систем второго порядка.
Полное решение[править]
Совмещение амплитудной и фазовой частей приводит к получению стационарного решения
q s ( τ ) = A ( ζ , ω ) cos ( ω τ + φ ( ζ , ω ) ) = A cos ( ω τ + φ ) .
Решение исходного уравнения универсального осциллятора является суперпозицией (суммой) переходных и стационарных решений:
q ( τ ) = q t ( τ ) + q s ( τ ) .
Более полное описание способа решения приведенного выше уравнения см. В разделе линейные оды с постоянными коэффициентами .
Эквивалентные системы[править]
Основная статья: Эквивалентность систем
Гармонические осцилляторы, встречающиеся в ряде областей техники, эквивалентны в том смысле, что их математические модели идентичны (см. выше уравнение универсального осциллятора). Ниже приведена таблица, показывающая аналогичные величины в четырех системах гармонических осцилляторов в механике и электронике. Если аналогичные параметры на одной и той же строке в таблице заданы численно равными значениями, то поведение осцилляторов – их выходная форма волны, резонансная частота, коэффициент затухания и др. - это одно и то же.
Применение к консервативной силе[править]
Задача о простом гармоническом осцилляторе часто возникает в физике, поскольку масса, находящаяся в равновесии под действием любой консервативной силы , в пределе малых движений ведет себя как простой гармонический осциллятор.
Консервативная сила-это та, которая связана с потенциальной энергией . Потенциальноэнергетическая функция гармонического генератора имеет вид
V ( x ) = 1 2 k x 2 .
Учитывая произвольную функцию потенциальной энергии V ( x ) V(x), можно сделать разложение Тейлора в терминах x иксвокруг минимума энергии ( x = x 0 x=x_{0}) для моделирования поведения малых возмущений от равновесия.
V ( x ) = V ( x 0 ) + V ′ ( x 0 ) ⋅ ( x − x 0 ) + 1 2 V ( 2 ) ( x 0 ) ⋅ ( x − x 0 ) 2 + O ( x − x 0 ) 3 .
Поскольку V ( x 0 ) это минимум, то первая производная, оцениваемая по x 0 x_{0}нулю, должна быть равна нулю, поэтому линейный член выпадает:
V ( x ) = V ( x 0 ) + 1 2 V ( 2 ) ( x 0 ) ⋅ ( x − x 0 ) 2 + O ( x − x 0 ) 3 .
Постоянный член V (x 0 ) является произвольным и поэтому может быть отброшен, а преобразование координат позволяет получить форму простого гармонического осциллятора:
V ( x ) ≈ 1 2 V ( 2 ) ( 0 ) ⋅ x 2 = 1 2 k x 2 .
Таким образом, при наличии произвольной функции потенциальной энергии V ( x ) {\displaystyle V(x)} V(x)с ненулевой второй производной можно использовать решение простого гармонического осциллятора для получения приближенного решения для малых возмущений вокруг точки равновесия.
Примеры[править]
Простой маятник[править]
Предполагая отсутствие затухания, дифференциальное уравнение, управляющее простым маятником длины l л, где g гнаходится локальное ускорение силы тяжести, является
d 2 θ d t 2 + g l sin θ = 0.
Если максимальное смещение маятника мало, то мы можем использовать аппроксимацию sin θ ≈ θ тета \приблизительно \тета и вместо этого рассмотреть уравнение
d 2 θ d t 2 + g l θ = 0.
Общее решение этого дифференциального уравнения является
θ ( t ) = A cos ( g l t + φ ) ,
где A Одини φ varphi находятся константы, зависящие от начальных условий. Используя в качестве начальных условий θ ( 0 ) = θ 0 то решение дается путем
θ ( t ) = θ 0 cos ( g l t ) ,
где θ 0 наибольший угол, достигаемый маятником (то есть θ 0 амплитуда маятника). Период, время для одного полного колебания, задается выражением
τ = 2 π l g = 2 π ω ,
что является хорошим приближением к фактическому периоду, когда θ 0 } \theta он мал. Обратите внимание, что в этом приближении период τ \Тау не зависит от амплитуды θ 0 }. В приведенном выше уравнении ω омега представлена угловая частота.
Пружинно-массовая система[править]
Когда пружина растягивается или сжимается массой, пружина развивает восстанавливающую силу. Закон Гука дает отношение силы, приложенной пружиной, когда пружина сжимается или растягивается на определенную длину:
F ( t ) = − k x ( t ) ,
где F-сила, k-постоянная пружины, а x-смещение массы относительно положения равновесия. Знак минус в уравнении указывает на то, что сила, действующая на пружину, всегда действует в направлении, противоположном смещению (т. е. сила всегда действует в направлении нулевого положения), и поэтому предотвращает отлет массы в бесконечность.
Используя либо силовой баланс, либо энергетический метод, можно легко показать, что движение этой системы задается следующим дифференциальным уравнением:
F ( t ) = − k x ( t ) = m d 2 d t 2 x ( t ) = m a ,
последний является вторым законом движения Ньютона .
Если начальное смещение равно A, а начальная скорость отсутствует, то решение этого уравнения задается по формуле
x ( t ) = A cos ( k m t ) .
Учитывая идеальную безмассовую пружину, m мэто масса на конце пружины. Если пружина сама имеет массу ,то ее эффективная масса должна быть включена m м. Изменение энергии в системе пружинного демпфирования
С точки зрения энергии, все системы имеют два типа энергии: потенциальную энергию и кинетическую энергию . Когда пружина растягивается или сжимается, она сохраняет упругую потенциальную энергию, которая затем передается в кинетическую энергию. Потенциальная энергия внутри пружины определяется уравнением U = k x 2 / 2.
Когда пружина растягивается или сжимается, кинетическая энергия массы преобразуется в потенциальную энергию пружины. При сохранении энергии, предполагая, что базис определяется в положении равновесия, когда пружина достигает своей максимальной потенциальной энергии, кинетическая энергия массы равна нулю. Когда пружина освобождается, она пытается вернуться в равновесие, и вся ее потенциальная энергия преобразуется в кинетическую энергию массы.
Определение терминов[править]
Смотрите также[править]
- Ангармонический осциллятор
- Критическая скорость
- Эффективная масса (пружинно-массовая система)
- Нормальный режим
- Параметрический генератор
- Фазовращатель
- Добротность
- Квантовый генератор гармоник
- Генератор радиальных гармоник
- Упругий маятник