Географическое расстояние

Географическое расстояние или геодезическое расстояние - это расстояние, измеренное вдоль поверхности земли. Формулы в этой статье вычисляют расстояния между точками, которые определяются географическими координатами в терминах широты и долготы. Это расстояние является элементом в решении второй (обратной) геодезической задачи.

Введение

Вычисление расстояния между географическими координатами основано на некотором уровне абстракции; это не дает точного расстояния, которое недостижимо, если попытаться учесть каждую неровность поверхности земли.[1] Общими абстракциями для поверхности между двумя географическими точками являются:

Плоская поверхность; Сферическая поверхность; Эллипсоидальная поверхность. Все приведенные выше абстракции игнорируют изменения высоты. Расчет расстояний, учитывающих изменения высоты относительно идеализированной поверхности, в этой статье не обсуждается.

Номенклатура

Расстояние, \!рассчитывается между двумя точками, \!. Географическими координатами двух точек в виде пар (широта, долгота) являются ,\!и 2}),\,\!соответственно. Какая из двух точек обозначена как,\!, не имеет значения для расчета расстояния.

Координаты широты и долготы на картах обычно выражаются в градусах. В приведенных ниже формулах одно или несколько значений должны быть выражены в указанных единицах для получения правильного результата. В тех случаях, когда географические координаты используются в качестве аргумента тригонометрической функции, значения могут быть выражены в любых угловых единицах, совместимых с методом, используемым для определения значения тригонометрической функции. Многие электронные калькуляторы позволяют вычислять тригонометрические функции либо в градусах, либо в радианах. Режим калькулятора должен быть совместим с единицами, используемыми для геометрических координат.

Различия в широте и долготе обозначаются и вычисляются следующим образом:

При использовании приведенных ниже формул не имеет значения, является ли результат положительным или отрицательным.

"Средняя широта" обозначается и рассчитывается следующим образом:

Широта обозначается и рассчитывается следующим образом:

Для широт, выраженных в радианах:

Для широт, выраженных в градусах:

Если не указано иное, радиус земли для приведенных ниже расчетов равен:

! = 6 371,009 километров = 3958,761 статутных миль = 3440,069 морских миль.

! = Расстояние между двумя точками, измеренное вдоль поверхности земли и в тех же единицах, что и значение, используемое для радиуса, если не указано иное.

Особенности и разрывы широты/долготы

Долгота имеет особенности на полюсах (долгота не определена) и разрыв на меридиане ±180 °. Кроме того, плоские проекции окружностей постоянной широты сильно искривлены вблизи полюсов. Следовательно, приведенные выше уравнения для дельта-широты / долготы \фи \!, !) и средней широты \!) могут не дать ожидаемого ответа для положений вблизи полюсов или меридиана ± 180 °. Рассмотрим, например, значение !("смещение на восток"), когда 1}\!и 2}\!находятся по обе стороны от меридиана ± 180 °, или значение m}\!("средняя широта") для двух положений (\!= 89 °, != 45 °) и \!=89°, \!=-135°).

Если расчет, основанный на широте / долготе, должен быть действителен для всех положений Земли, следует убедиться, что разрыв и полюса обрабатываются правильно. Другим решением является использование n-вектора вместо широты / долготы, поскольку это представление не имеет разрывов или особенностей.

Формулы для плоской поверхности

Плоское приближение для поверхности земли может быть полезно на небольших расстояниях. Точность вычислений расстояния с использованием этого приближения становится все более неточной по мере:

Расстояние между точками становится больше;

Точка становится ближе к географическому полюсу.

Кратчайшим расстоянием между двумя точками на плоскости является прямая линия. Теорема Пифагора используется для вычисления расстояния между точками на плоскости.

Даже на небольших расстояниях точность вычисления географического расстояния, предполагающего плоскую Землю, зависит от метода, с помощью которого координаты широты и долготы были спроецированы на плоскость. :Проекция координат широты и долготы на плоскость является областью картографии.

Формулы, представленные в этом разделе, обеспечивают разную степень точности.

Сферическая Земля, спроецированная на плоскость

Эта формула учитывает изменение расстояния между меридианами с широтой:

где:

,\!указаны в радианах;

m}\,\! должно быть в единицах, совместимых с методом, используемым для определения

Для преобразования широты или долготы в радианы используйте

Это приближение выполняется очень быстро и дает довольно точный результат для небольших расстояний. Кроме того, при упорядочении местоположений по расстоянию, например, в запросе к базе данных, быстрее упорядочивать по квадрату расстояния, устраняя необходимость вычисления квадратного корня.

Эллипсоидальная Земля, спроецированная на плоскость

FCC предписывает следующие формулы для расстояний, не превышающих 475 километров (295 миль):[2]

где

Д\,\! = Расстояние в километрах;

• !выражается в градусах;

должно быть в единицах, совместимых с методом, используемым для определения

K_{2}в единицах километров на градус. Может быть интересно отметить, что:

180}}\,\! = километры на градус разницы широты;

180}}\,\! = километры на градус разницы по долготе;

где N\,\!- вертикальный и перпендикулярный к нему, или "n ormal", радиусы кривизны (выражения в формуле FCC получены из формы разложения в биномиальный ряд М\,\!и }N\,\!, заданной для эталонного эллипсоида Кларка 1866 ).

Для более эффективной с вычислительной точки зрения реализации приведенной выше формулы многократное применение косинуса можно заменить одним применением и использованием рекуррентного соотношения для полиномов Чебышева.

Формула полярной координаты плоской Земли

где значения широты указаны в радианах. Для широты, измеряемой в градусах, широта в радианах может быть рассчитана следующим образом:

Формулы сферической поверхности

Основная статья: Расстояние большого круга

Если кто-то готов принять возможную ошибку в 0,5%, можно использовать формулы сферической тригонометрии на сфере, которая наилучшим образом приближается к поверхности земли.

Кратчайшее расстояние вдоль поверхности сферы между двумя точками на поверхности - вдоль большого круга, который содержит две точки.

В статье Расстояние по большому кругу приведена формула для вычисления расстояния по большому кругу на сфере размером с Землю. В этой статье приведен пример расчета.

Расстояние по туннелю

Туннель между точками на Земле определяется линией, проходящей через трехмерное пространство между точками интереса. Длина хорды большого круга может быть рассчитана следующим образом для соответствующей единичной сферы:

Расстояние по туннелю между точками на поверхности сферической Земли составляет }D=RC_{h}. Для коротких расстояний D\ll R) это занижает расстояние по большому кругу 2}/24на .

Формулы эллипсоидной поверхности

Основная статья: Геодезические на эллипсоиде

Геодезическая на сплюснутом эллипсоиде

Эллипсоид приближает поверхность земли намного лучше, чем сфера или плоская поверхность. Кратчайшее расстояние вдоль поверхности эллипсоида между двумя точками на поверхности - вдоль геодезической. Геодезические проходят по более сложным траекториям, чем большие круги, и, в частности, они обычно не возвращаются в исходное положение после одного оборота земли. Это показано на рисунке справа, где f принимается равным 1/50, чтобы подчеркнуть эффект. Нахождение геодезической между двумя точками на земле, так называемойобратная геодезическая задача, была в центре внимания многих математиков и геодезистов в течение 18-го и 19-го веков с большим вкладом Клеро, Лежандра, Бесселя, и Гельмерта. Рапп дает хорошее резюме этой работы.

Методы вычисления геодезического расстояния широко доступны в географических информационных системах, библиотеках программного обеспечения, автономных утилитах и онлайн-инструментах. Наиболее широко используется алгоритм Винсенти, который использует ряд с точностью до третьего порядка при уплощении эллипсоида, то есть около 0,5 мм; однако алгоритм не сходится для точек, которые являются почти противоположными. (Подробнее см. формулы Винсенти.) Этот дефект устраняется в алгоритме, предложенном Карни, который использует ряды с точностью до шестого порядка при выравнивании. Это приводит к алгоритму, который является точным с полной двойной точностью и который сходится для произвольных пар точек на земле. Этот алгоритм реализован в GeographicLib.

Точные методы, описанные выше, возможны при выполнении вычислений на компьютере. Они предназначены для получения миллиметровой точности на линиях любой длины; можно использовать более простые формулы, если вам не нужна миллиметровая точность, или если вам нужна миллиметровая точность, но линия короткая. Рапп, Глава 6, описывает метод Пуиссана, метод средних широт Гаусса и метод Боуринга.

Формула Ламберта для длинных линий

Формулы Ламберта дают точность порядка 10 метров на протяжении тысяч километров. Сначала преобразуйте широты

где

f происходит выравнивание. Затем вычислите центральный угол сигма в радианах между двумя точками 1})и 2})на сфере, используя метод расстояния по Большому кругу (закон косинусов или формула хаверсина), с долготами 1}\;и 2}\;}\лямбда _{2}\;одинаковыми на сфере и на сфероиде.

где {\displaystyle a}a- экваториальный радиус выбранного сфероида.

На сфероиде GRS 80 формула Ламберта отклоняется на

От 0 к северу от 0 к западу до 40 к северу от 120 к Западу, 12,6 метров От 0N 0W до 40N 60W, 6,6 метров От 40N 0W до 40N 60W, 0,85 метра

Метод Боуринга для коротких линий

Боуринг отображает точки на сферу радиуса R', с широтой и долготой, представленными как φ' и λ'. Определить

где второй квадрат эксцентриситета равен

Сферический радиус равен

(Гауссова кривизна эллипсоида при φ 1 равна 1/R'2.) Сферические координаты задаются

где

Результирующая проблема на сфере может быть решена с использованием методов навигации по большому кругу, чтобы дать приближения для сфероидального расстояния и азимута. Подробные формулы приведены Раппом, §6.5 и Боурингом.

Поправка на высоту

Изменение высоты, от топографического уровня или уровня земли до поверхности сферы или эллипсоида, также изменяет масштаб измерений расстояния.[14] Наклонное расстояние s (длина хорды) между двумя точками может быть уменьшено до длины дуги на поверхности эллипсоида S как:

где R вычисляется по азимутальному радиусу кривизны Земли, а h - эллипсоидальные высоты каждой точки. Первый член в правой части уравнения составляет среднюю высоту, а второй член - наклон. Дальнейшее уменьшение длины надземного нормального участка до эллипсоидной геодезической длины часто пренебрежимо мало.

Смотрите также

• Измерение дуги
• Радиус Земли
• Сферическая Земля
• Расстояние по большому кругу
• Навигация по большому кругу
• Расстояние до образца грунта
• Формулы Винсенти
• Дуга меридиана
• Масштаб (карта)

География

Пруф

geographiclib.sourceforge.io/geodesic-papers/biblio.html

• GeodSolve