Математика и музыка

Материал из wikixw
Перейти к навигации Перейти к поиску

(Перенаправлено с математики и музыки)

Теория музыки не имеет аксиоматического основания в современной математике, хотя в последнее время в этом направлении были сделаны некоторые интересные работы (см. внешние ссылки), тем не менее основа музыкального звука может быть описана математически (в акустике) и проявляет "замечательный набор числовых свойств".[1] Такие элементы музыки , как ее форма, ритм и метр, высота нот и темп пульса, могут быть связаны с измерением времени и частоты, предлагая готовые аналогии в геометрии.

Попытка структурировать и передать новые способы сочинения и прослушивания музыки привела к музыкальным приложениям теории множеств, абстрактной алгебры и теории чисел. Некоторые композиторы включили в свои произведения золотое сечение и числа Фибоначчи.

Спектрограмма скрипичного сигнала с линейной частотой на вертикальной оси и временем на горизонтальной оси. Яркие линии показывают, как спектральные компоненты изменяются с течением времени. Интенсивность окраски логарифмическая (черный цвет -120 ДБФ).

История[править]

Хотя известно, что древние китайцы, индийцы, египтяне и месопотамцы изучали математические принципы звука, пифагорейцы (в частности Филолай и Архит) Древней Греции были первыми исследователями, которые исследовали выражение музыкальных шкал в терминах числовых соотношений, в частности соотношений малых целых чисел. Их центральное учение состояло в том, что "вся природа состоит из гармонии, возникающей из чисел".

Со времен Платонагармония считалась фундаментальной отраслью физики, ныне известной как музыкальная акустика. Ранние индийские и китайские теоретики демонстрируют сходные подходы: все они стремились показать, что математические законы гармоник и ритмов были фундаментальными не только для нашего понимания мира, но и для человеческого благополучия.Конфуций , как и Пифагор, считал малые числа 1,2,3,4 источником всякого совершенства.

Время, ритм и метр[править]

Без границ ритмической структуры – фундаментального равного и регулярного расположения повторения импульсов , акцента, фразы и длительности – музыка была бы невозможна.Современное музыкальное употребление таких терминов, как метр и мера, также отражает историческое значение музыки, наряду с астрономией, в развитии счета, арифметики и точного измерения времени и периодичности, что является фундаментальным для физики.

Элементы музыкальной формы часто строят строгие пропорции или гиперметрические структуры (степени чисел 2 и 3).

Музыкальная форма[править]

Основная статья: Музыкальная форма

Музыкальная форма-это план, с помощью которого короткое музыкальное произведение расширяется. Термин "план" используется также в архитектуре, с которой часто сравнивают музыкальную форму. Подобно архитектору, композитор должен учитывать функцию, для которой предназначено произведение, и имеющиеся средства, практикуя экономию и используя повторение и порядок.Общие типы форм, известные как двоичные и троичные ("двоичные" и "троичные"), еще раз демонстрируют важность малых интегральных значений для разборчивости и привлекательности музыки.

Частота и гармония[править]

Хладни цифры, производимые звуковыми колебаниями в мелкодисперсном порошке на квадратной пластине. (Эрнст Хладни, Акустика, 1802)

Музыкальная шкала-это дискретный набор тонов, используемых при создании или описании музыки. Наиболее важной шкалой в западной традиции является диатоническая шкала, но многие другие были использованы и предложены в различные исторические эпохи и части мира. Каждый шаг соответствует определенной частоте, выраженной в герцах (Гц), иногда называемых циклами в секунду (С. П. С.). Шкала имеет интервал повторения, обычно октаву. Октава любого тона относится к частоте, в точности вдвое превышающей заданную высоту тона.

Последующие супероктавы-это тона, найденные на частотах, в четыре, восемь, шестнадцать раз превышающих основную частоту. Питчи на частотах половины, четверти, восьмой и так далее фундаментальных называются субоктавами. В музыкальной гармонии нет ни одного случая, когда, если данный шаг считается согласным, то его октавы считаются иначе. Поэтому любая нота и ее октавы , как правило, будут иметь сходные названия в музыкальных системах (например, все они будут называться doh или A или Sa, в зависимости от случая).

Выраженная в виде полосы частот Октава а2-а3 охватывает диапазон от 110 Гц до 220 Гц (span=110 Гц). Следующая Октава будет охватывать диапазон от 220 Гц до 440 Гц (span=220 Гц). Третья Октава охватывает диапазон от 440 Гц до 880 Гц (span=440 Гц) и так далее. Каждая последующая Октава охватывает вдвое больший частотный диапазон, чем предыдущая.

Эта диаграмма представляет октавы, как они появляются в смысле музыкальных интервалов, равномерно расположенных

Поскольку мы часто интересуемся отношениями или соотношениями между шагами (известными как интервалы), а не точными шагами сами по себе при описании шкалы, обычно мы относимся ко всем шагам шкалы в терминах их отношения от конкретного шага, которому дается значение единицы (часто пишется 1/1), обычно ноты, которая функционирует как тоника шкалы. Для сравнения размеров интервалов часто используются центы.

оп

Системы настройки Основные статьи: музыкальная настройка и музыкальный темперамент

Существует два основных семейства систем настройки: равный темперамент и просто настройка. Равные шкалы темперамента строятся путем деления октавы на интервалы, равные по логарифмической шкале, что приводит к совершенно равномерно распределенным шкалам, но с отношениями частот, которые являются иррациональными числами. Просто шкалы строятся путем умножения частот на рациональные числа, что приводит к простым соотношениям между частотами, но с неравномерным делением шкалы.

Одно из главных различий между равными настройками темперамента и просто настройками-это различия в акустическом ритме, когда две ноты звучат вместе, что влияет на субъективное переживание созвучия и диссонанса. Обе эти системы, как и подавляющее большинство музыки в целом, имеют гаммы, повторяющиеся на интервале каждой октавы, который определяется как отношение частот 2:1. Другими словами, каждый раз, когда частота удваивается, данная шкала повторяется.

Ниже приведены файлы Ogg Vorbis, демонстрирующие разницу между просто интонацией и равным темпераментом. Возможно, вам придется воспроизвести образцы несколько раз, прежде чем вы сможете обнаружить разницу.

  • Две синусоидальные волны играли последовательно-этот образец имеет полушаг на частоте 550 Гц (C♯ в шкале справедливых интонаций), за которым следует полушаг на частоте 554,37 Гц (C♯ в шкале равных темпераментов).
  • Те же две ноты, установленные против педали A440 – этот образец состоит из "диады". Нижняя нота-это постоянная а (440 Гц в любой шкале), верхняя нота-это С♯ в шкале равных темперов для первого 1" и С♯ в шкале справедливых интонаций для последнего 1". Фазовые различия облегчают обнаружение перехода, чем в предыдущем примере.

Просто настройки[править]

оп


5-предельная настройка, наиболее распространенная форма просто интонации, представляет собой систему настройки с использованием тонов, являющихся регулярными числовыми гармониками одной основной частоты. Это была одна из гамм, представленных Иоганном Кеплером в его Harmonices Mundi (1619) в связи с движением планет. Та же шкала была дана в транспонированной форме шотландским математиком и музыкальным теоретиком Александром Малькольмом в 1721 году в его "трактате О музыке: спекулятивном, практическом и историческом" и теоретиком Хосе Вюршмидтом в XX веке. Одна из его форм используется в музыке Северной Индии.

Американский композитор Терри Райли также использовал ее перевернутую форму в своей "арфе нового Альбиона". Просто интонация дает превосходные результаты, когда мало или вообще нет аккордовой прогрессии: голоса и другие инструменты тяготеют к простой интонации, когда это возможно. Однако он дает два разных целых интервала тонов (9:8 и 10:9), потому что фиксированный настроенный инструмент, такой как пианино, не может изменить тональность. чтобы вычислить частоту ноты в шкале, заданной в терминах отношений, отношение частот умножается на тоническую частоту. Например, с тоником формата А4 (Естественная выше середины С), частота составляет 440 Гц, а правильно настроенная пятая над ней (Е5) - просто 440×(3:2) = 660 Гц.

Полутон Соотношение Интервал Натуральные полшага
0 1:1 унисон 480 0
1 16:15 минорный полутон 512 16:15
2 9:8 майор второй 540 135:128
3 6:5 малая терция 576 16:15
4 5:4 майор третий 600 25:24
5 4:3 идеальный четвертый 640 16:15
6 45:32 диатонический Тритон 675 135:128
7 3:2 идеальный пятый 720 16:15
8 8:5 малая шестая 768 16:15
9 5:3 майор шестой 800 25:24
10 9:5 малая седьмая 864 27:25
11 15:8 майор седьмой 900 25:24
12 2:1 октава 960 16:15

Пифагорейская настройка-это настройка, основанная только на совершенных созвучиях, (совершенной) октаве, совершенной пятой и совершенной четвертой. Таким образом, мажорная треть считается не третьей, а Дитоном, буквально "двумя тонами", и является (9:8)2 = 81:64, вместо независимого и гармонического только 5: 4 = 80: 64 непосредственно ниже. Целый тон-это вторичный интервал, производный от двух совершенных Квинт, (3:2)2 = 9:8.

Просто большая треть, 5: 4 и малая треть, 6:5, являются синтонической запятой, 81:80, за исключением их пифагорейских эквивалентов 81:64 и 32: 27 соответственно. Согласно Карлу Дальхаусу (1990, с. 187), " зависимая треть соответствует пифагорейской, независимая треть-гармонической настройке интервалов."

Западная обычная практика музыки обычно не может быть воспроизведена только интонацией, но требует систематически смягченной шкалы. Темперирование может включать в себя либо нерегулярности хорошего темперамента , либо быть построено как регулярный темперамент, либо какую-то форму равного темперамента или какой-то другой регулярный meantone, но во всех случаях будет включать фундаментальные черты meantone темперамента. Например, корень аккорда ii если настроиться на пятую часть выше доминанты, то получится мажорный цельный тон (9:8) выше тоники. Однако если настроить только минорную треть (6:5) ниже только субдоминантной степени 4:3, интервал от Тоники будет равен минорному целому тону (10:9). Meantone темперамент уменьшает разницу между 9: 8 и 10:9. Их соотношение, (9:8)/(10:9) = 81:80, трактуется как унисон. Интервал 81: 80, называемый синтонической запятой или запятой Дидима,является ключевой запятой темперамента meantone.

Равные настройки темперамента[править]

При равном темпераментеОктава делится на равные части по логарифмической шкале. В то время как можно построить шкалу равного темперамента с любым количеством нот (например, 24-тонная Арабская тональная система), наиболее распространенным числом является 12, которое составляет хроматическую шкалу равного темперамента. В западной музыке принято деление на двенадцать интервалов, если не указано иное.

Для хроматической гаммы Октава делится на двенадцать равных частей, каждый полутон (полушаг) является интервалом двенадцатого корня из двух, так что двенадцать из этих равных полушагов составляют ровно октаву. С резными инструментами очень полезно использовать равный темперамент, чтобы Лады равномерно распределились по струнам. В европейской музыкальной традиции равный темперамент использовался для лютневой и гитарной музыки гораздо раньше, чем для других инструментов, таких как музыкальные клавишные. Из-за этой исторической силы двенадцатитоновый равный темперамент в настоящее время является доминирующей интонационной системой в Западном и большей части незападного мира.

Были использованы одинаково закаленные шкалы и инструменты, построенные с использованием различных других чисел равных интервалов. 19 равный темперамент, впервые предложенный и используемый Гийомом Костли в 16 веке, использует 19 одинаково расположенных тонов, предлагая лучшие мажорные трети и гораздо лучшие минорные трети, чем обычный 12-полутонный равный темперамент за счет более плоской пятой. Общий эффект-это большее созвучие. Двадцать четыре равных темперамента, с двадцатью четырьмя одинаково расположенными тонами, широко распространены в педагогике и нотации арабской музыки. Однако в теории и на практике интонация арабской музыки соответствует рациональным соотношениям, в отличие от иррациональных соотношений одинаково темперированных систем.

В то время как в арабских интонационных системах полностью отсутствуют аналоги одинаково темперированного четвертного тона, часто встречаются аналоги трех четвертей тона или нейтральной секунды. Эти нейтральные секунды, однако, немного различаются в своих соотношениях в зависимости от макама, а также географии. Действительно, арабский музыкальный историк Хабиб Хасан Тума он писал, что " широта отклонения этого музыкального шага является решающим ингредиентом в своеобразном аромате арабской музыки. Смягчить гамму, разделив октаву на двадцать четыре четверти тона одинакового размера, значило бы отказаться от одного из наиболее характерных элементов этой музыкальной культуры."

Связи с математикой[править]

Теория множеств[править]

Основная статья: Теория множеств (музыка)

Теория музыкальных множеств использует язык математической теории множеств элементарным образом для организации музыкальных объектов и описания их взаимосвязей. Чтобы проанализировать структуру произведения (обычно атональной) музыки с помощью теории музыкальных множеств, обычно начинают с набора тонов, которые могут образовывать мотивы или аккорды. Применяя простые операции , такие как транспозиция и инверсия, можно обнаружить глубокие структуры в музыке. Такие операции, как транспозиция и инверсия, называются изометриями, поскольку они сохраняют интервалы между тонами в наборе.

Абстрактная алгебра[править]

Основная статья: Абстрактная алгебра

Развивая методы теории музыкальных множеств, некоторые теоретики использовали абстрактную алгебру для анализа музыки. Например, классы высоты тона в одинаково темперированной октаве образуют абелеву группу с 12 элементами. Можно описать только интонацию в терминах свободной абелевой группы.

Трансформационная теория-это раздел теории музыки, разработанный Дэвидом Левином. Теория допускает большую общность, потому что она подчеркивает преобразования между музыкальными объектами, а не сами музыкальные объекты.

Теоретики также предложили музыкальные приложения более сложных алгебраических понятий. Теория регулярных темпераментов была широко разработана с помощью широкого спектра сложных математических методов, например, путем связывания каждого регулярного темперамента с рациональной точкой на Грассманиане.

Хроматическая шкала имеет свободное и транзитивное действие циклической группы Z / 12 Z {\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} } {\mathbb {Z}}/12{\mathbb {Z}}, причем действие определяется через транспозицию нот. Таким образом, хроматическая шкала может рассматриваться как торсор для группы

Теория категорий[править]

Основная статья: Теория категорий

Математик и музыковед Герино Маццола использовал теорию категорий (теорию топоса) в качестве основы теории музыки, которая включает использование топологии в качестве основы для теории ритма и мотивов, а дифференциальной геометрии-в качестве основы для теории музыкальногоисполнения, темпаи интонации.[20]

См. также[править]

Читать[править]

/artofproblemsolving.com AoPS.

Пруф[править]

.bbc.co.uk/programmes/p003c1b9

Источник — https://wikixw.ru/index.php?title=Математика_и_музыка&oldid=44726