Погрешность аппроксимации

Для более широкого охвата этой темы см. раздел Аппроксимация.

Погрешность аппроксимации в некоторых данных - это расхождение между точным значением и некоторым приближением к нему. Ошибка аппроксимации может возникнуть из-за того, что:

• измерение данных не является точным из-за инструментов. (например, точное чтение листа бумаги составляет 4,5 см, но поскольку линейка не использует десятичные знаки, вы округляете его до 5 см.) или
• вместо реальных данных используются аппроксимации (например, 3.14 вместо π ).

В математической области численного анализа численная устойчивость алгоритма указывает, как ошибка распространяется алгоритмом.

Формальное определение

Обычно проводится различие между относительной и абсолютной ошибкой .

Учитывая некоторое значение v и его приближение V приблизительно, абсолютная погрешность равна

• ϵ = | v − v approx | ,

где вертикальные полосы обозначают абсолютное значение . Если v ≠ 0 , ,относительная погрешность равна

• η = ϵ | v | = | v − v approx v | = | 1 − v approx v | ,

а процентная ошибка есть

• δ = 100 % × η = 100 % × ϵ | v | = 100 % × | v − v approx v | .

Иными словами, абсолютная погрешность - это величина разности между точным значением и приближением. Относительная погрешность-это абсолютная погрешность, деленная на величину точного значения. Процентная ошибка-это относительная ошибка, выраженная в единицах на 100.

Обобщения

Эти определения можно распространить на случай , когда v ви v approx вляются N-мерными векторами, заменив абсолютное значение на N-норму .

Примеры

Например, если точное значение равно 50 и аппроксимация равна 49,9, то абсолютная погрешность равна 0,1 и относительная погрешность равна 0,1/50 = 0,002 = 0,2%. Другим примером может быть, если при измерении 6 мл мензурки считанное значение составляет 5 мл. Правильное чтение составляет 6 мл, это означает, что процентная ошибка в этой конкретной ситуации составляет, округлено, 16,7%.

Использование относительной ошибки

Относительная погрешность часто используется для сравнения аппроксимаций чисел с сильно различающимися размерами; например, аппроксимация числа 1000 с абсолютной погрешностью 3 в большинстве случаев намного хуже, чем аппроксимация числа 1 000 000 с абсолютной погрешностью 3; в первом случае относительная погрешность составляет 0,003, а во втором-только 0,000003.

Есть две особенности относительной ошибки, которые следует иметь в виду. Во-первых, относительная ошибка не определена, когда истинное значение равно нулю, как это показано в знаменателе (см. ниже). Во-вторых, относительная погрешность имеет смысл только при измерении на шкале отношения (т. е. шкале, которая имеет истинный значимый ноль), в противном случае она была бы чувствительна к единицам измерения. Например, когда абсолютная погрешность измерения температуры задается в шкале Цельсия 1 °C, и истинное значение 2 °C, относительная ошибка 0,5, и ошибка процента 50%. Для этого же случая, когда температура задается в шкале Кельвина, та же самая абсолютная погрешность 1 К при том же истинном значении 275,15 к дает относительную погрешность 3,63 × 10 − 3 и процентную погрешность только 0,363%. Температура по Цельсию измеряется на интервальной шкале, тогда как шкала Кельвина имеет истинный ноль и поэтому является шкалой отношения.

Инструменты

В большинств показывая аппаратурах, точность гарантирована к некоторому проценту полномасштабного чтения. Пределы этих отклонений от заданных значений известны как предельные погрешности или погрешности гарантии.

Смотрите также

• Принятое и экспериментальное значение
• Относительная разность
• Неопределенность
• Экспериментальный анализ неопределенности
• Распространение неопределенности
• Ошибки и невязки в статистике
• Ошибка округления
• Погрешность квантования
• Погрешность измерения
• Погрешность измерения
• Машина Эпсилон

Пруф

Eric W. Weisstein

• //mathworld.wolfram.com/PercentageError.html

• youtube.com/watch?v=ERqHXftV3PM