Позиционная система

(Перенаправлено с взвешенного кода)

Позиционная система счисления (или местоименная система счисления, или позиционная система счисления) обычно обозначает расширение любой основы индо-арабской системы счисления (или десятичной системы). В более общем смысле позиционная система счисления - это система счисления, в которой вклад цифры в значение числа равен значению цифры, умноженному на коэффициент, определяемый положением цифры. В ранних системах счисления, таких как римские цифры, цифра имеет только одно значение: I означает единицу, X означает десять, а C - сто (однако значение может быть отрицательным, если оно помещено перед другой цифрой). В современных позиционных системах счисления, таких как десятичная система, положение цифры означает, что ее значение должно быть умножено на некоторое значение: в 555 три одинаковых символа представляют пять сотен, пять десятков и пять единиц соответственно из-за их разных позиций в строке цифр.

Вавилонская система счисления с основанием 60 была первой позиционной системой, которая была разработана, и ее влияние проявляется сегодня в том, как время и углы подсчитываются в числах, связанных с 60, таких как 60 минут в часе и 360 градусов по окружности. Сегодня индо–арабская система счисления (с десятичным основанием) является наиболее часто используемой системой во всем мире. Однако двоичная система счисления (с двумя основаниями) используется почти во всех компьютерах и электронных устройствах, поскольку ее проще эффективно реализовать в электронных схемах.

Были описаны системы с отрицательным основанием, сложным основанием или отрицательными цифрами. Большинство из них не требуют знака минус для обозначения отрицательных чисел.

Использование точки основания (десятичной точки в десятичном основании) распространяется на дроби и позволяет представлять любое действительное число с произвольной точностью. С позиционной системой счисления арифметические вычисления намного проще, чем с любой более старой системой счисления; это привело к быстрому распространению системы счисления, когда она была введена в Западной Европе.

Глоссарий терминов, используемых в позиционных системах счисления

Суанпан (число, представленное на картинке, равно 6 302 715 408)

История

Сегодня повсеместно распространена десятичная (десятичная) система счисления, основанная на счете десятью пальцами. Другие основы использовались в прошлом, а некоторые продолжают использоваться и сегодня. Например, вавилонская система счисления, признанная первой позиционной системой счисления, имела основание 60. Однако в ней отсутствовал действительный ноль. Первоначально выводилось только из контекста, позже, примерно к 700 году до н.э., ноль стал обозначаться "пробелом" или "символом пунктуации" (например, двумя наклонными клиньями) между цифрами.Это былазаполнитель, а не истинный ноль, потому что он не использовался отдельно или в конце числа. Такие числа, как 2 и 120 (2 × 60), выглядели одинаково, потому что у большего числа отсутствовал конечный заполнитель. Только контекст может их различать.

Ученый-эрудит Архимед (около 287-212 гг. до н.э.) изобрел десятичную позиционную систему счисления в своей песочной счетной машине, которая была основана на 10 8, а позже заставила немецкого математика Карла Фридриха Гаусса сетовать на то, каких высот наука достигла бы уже в его дни, если бы Архимед полностью осознал потенциал своего гениального открытия.

Знаково-ценностная система счисленияСчеты), такие как римские цифры, а бухгалтеры в Древнем Риме и в средние века использовали счеты или каменные счетчики для выполнения арифметических действий.

Китайские стержневые цифры; Верхний ряд образует вертикальную форму , нижний ряд образует горизонтальную форму

Счетные палочки и большинство счетов использовались для представления чисел в позиционной системе счисления. Используя счетные палочки или счеты для выполнения арифметических операций, запись начальных, промежуточных и конечных значений вычисления может быть легко выполнена с помощью простой аддитивной системы в каждой позиции или столбце. Этот подход не требовал запоминания таблиц (как и позиционная нотация) и мог быстро дать практические результаты.

Самая старая из существующих позиционных систем счисления - это либо китайская система счисления, используемая, по крайней мере, с начала 8-го века, либо, возможно, кхмерские цифры, показывающие возможное использование позиционных чисел в 7-м веке. Кхмерские цифры и другие индийские цифры происходят от цифр брахми примерно 3 века до н.э., символы которых в то время не использовались позиционно. Средневековые индийские цифры являются позиционными, как и производные арабские цифры, записанные с 10-го века.

После Французской революции (1789-1799) новое французское правительство способствовало распространению десятичной системы счисления.[5] Некоторые из этих попыток в поддержку десятичной системы счисления, такие как десятичное время и десятичный календарь, оказались безуспешными. Другие французские усилия в поддержку десятичной системы счисления - десятичная обработка валюты и метрика мер и весов — широко распространились за пределами Франции почти по всему миру.

История позиционных дробей

Основная статья: Десятичная система счисления

Й. Леннарт Берггрен отмечает, что позиционные десятичные дроби были впервые использованы арабским математиком Абуль-Хасаном аль-Уклидиси еще в 10 веке. Еврейский математик Иммануил Бонфис использовал десятичные дроби около 1350 года, но не разработал никаких обозначений для их представления. Персидский математик Джамшид аль-Каши сделал такое же открытие десятичных дробей в 15 веке. Аль Хорезми ввел дроби в исламские страны в начале 9-го века; его представление дробей было похоже на традиционные китайские математические дроби изСунзи Суаньцзин. Эта форма дроби с числителем сверху и знаменателем внизу без горизонтальной черты также использовалась Абу-ль-Хасаном аль-Уклидиси 10-го века и в работе Джамшида аль-Каши 15-го века "Арифметический ключ".

Ca

Принятие десятичного представления чисел, меньших единицы, дроби, часто приписывается Саймону Стевину из его учебника De Thiende; но и Стевин, и Э. Дж. Дейкстерхейс указывают, что Региомонтанус способствовал принятию европейцами общих десятичных дробей:

Европейские математики, переняв у индусов через арабов идею позиционного значения целых чисел, пренебрегли распространением этой идеи на дроби. В течение нескольких столетий они ограничивались использованием обыкновенных и шестидесятеричных дробей... Эта нерешительность никогда не была полностью преодолена, и шестидесятеричные дроби по-прежнему составляют основу нашей тригонометрии, астрономии и измерения времени. ¶ ... Математики стремились избежать дробей, принимая радиус R равным количеству единиц длины вида 10n, а затем принимая дляn настолько большое интегральное значение, что все встречающиеся величины можно было бы с достаточной точностью выразить целыми числами. ¶ Первым, кто применил этот метод, был немецкий астроном Региомонтан. Региомонтана можно назвать предшественником учения о десятичных позиционных дробях в той степени, в какой он выражал гониометрические отрезки в единице R/10n.^[11]<a></a>: 17, 18 По оценке Дейкстерхейса, "после публикации Де Тьенде потребовалось лишь небольшое продвижение, чтобы создать полную систему десятичных позиционных дробей, и этот шаг был незамедлительно предпринят рядом авторов ... после Стевина самой важной фигурой в этом развитии был Региомонтанус." Дейкстерхейс отметил, что [Стевин] "полностью отдает должное Региомонтану за его предыдущий вклад, говоря, что тригонометрические таблицы немецкого астронома на самом деле содержат всю теорию "чисел десятого прогресса"".

Математика

Основа системы счисления

В математических системах счисления основание r обычно представляет собой количество уникальных цифр, включая ноль, которые позиционная система счисления использует для представления чисел. :В некоторых случаях, например, с отрицательным основанием, основание является абсолютным значением r=|b|}{\displaystyle r=|b|} основания b. Например, для десятичной системы счисления основание (и основание) равно десяти, потому что в ней используются десять цифр от 0 до 9. Когда число "достигает" 9, следующим числом будет не другой другой символ, а "1", за которым следует "0". В двоичном коде основание равно двум, поскольку после того, как оно достигает "1", вместо "2" или другого записанного символа, оно сразу переходит к "10", за которым следуют "11" и "100".

Старший символ позиционной системы счисления обычно имеет значение на единицу меньше значения основания этой системы счисления. Стандартные позиционные системы счисления отличаются друг от друга только используемой основой.

Основание - это целое число, которое больше 1, поскольку основание, равное нулю, не будет иметь никаких цифр, а основание, равное 1, будет иметь только нулевую цифру. Отрицательные основания используются редко. В системе, состоящей не |b|} |b|}только из уникальных цифр, числа могут иметь множество различных возможных представлений.

Важно, чтобы основание было конечным, из чего следует, что количество цифр довольно низкое. В противном случае длина числительного не обязательно была бы логарифмической по своему размеру.

(В некоторых нестандартных позиционных системах счисления, включая биективную нумерацию, определение базовых или разрешенных цифр отличается от приведенного выше.)

В стандартной десятичной (десятичной) позиционной системе счисления имеется десять десятичных цифр и число

5305 _dec =(5x 10 ³ )+(3x 10 ² )+(0x 10 ¹ )+(5x 10 ⁰ )

В стандартной шестнадцатеричной системе счисления (шестнадцатеричной) есть шестнадцать шестнадцатеричных цифр (0-9 и A–F) и число

14B9 _hex =(1х 16 ³ )+(4х 16 ² )+(B х 16 ¹ )+(9х 16 ⁰ ) (=5305 _dec ),

где B представляет число одиннадцать в виде одного символа.

В общем, в базе-b есть b цифр и число \{d_{1},d_{2},\dotsb ,d_{b}\}=:D \{d_{1},d_{2},\dotsb ,d_{b}\}=:D}

(a_{3}a_{2}a_{1}a_{0})_{b}=(a_{3}\times b^{3})+(a_{2}\times b^{2})+(a_{1}\times b^{1})+(a_{0}\times b^{0(a_{3}a_{2}a_{1}a_{0})_{b}=(a_{3} \раз b ^{3})+(a_{2}\ раз b ^{2})+(a_{1} \раз b^{1})+(a_{0}\раз b^{0})}

имеет \forall k\colon a_{k}\in D. \forall k\двоеточие a_{k}\в D.}примечание, которое a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}}a_3 a_2 a_1 a_0представляет последовательность цифр, а не <a>умножение</a>.

Нотация

Математическая система счисленияДвоичная система счисленияРавенство (математика)Десятичная система счисленияВосьмеричнаясимвола для этого понятия, поэтому для двоичной системы b равно 2. :Другой распространенный способ выражения базы - записать ее в виде десятичного индекса после представляемого числа (это обозначение используется в этой статье). 1111011 2 подразумевает, что число 1111011 является числом с основанием 2, равным 123 10 (десятичная система счисления), 173 8 (восьмеричная система счисления) и 7B 16 (шестнадцатеричная система счисления). В книгах и статьях, когда изначально используются письменные сокращения числовых оснований, база впоследствии не печатается: предполагается, что двоичный код 1111011 совпадает с 1111011 2.

Основание b также может быть обозначено фразой "base-b". Итак, двоичные числа - это "основание-2"; восьмеричные числа - "основание-8"; десятичные числа - "основание-10"; и так далее.

Для заданного основания b набор цифр {0, 1, ..., b−2, b−1} называется стандартным набором цифр. Таким образом, двоичные числа имеют цифры {0, 1}; десятичные числа имеют цифры {0, 1, 2, ..., 8, 9}; и так далее. Следовательно, следующие ошибки в обозначениях: 52 2, 2 2, 1A 9. (Во всех случаях одна или несколько цифр отсутствуют в наборе разрешенных цифр для данной базы.)

Возведение в степень

Позиционные системы счисления работают с использованием возведения в степень основания. Значение цифры - это цифра, умноженная на значение ее места. Значения места - это число основания, возведенное в n-ю степень, где n - количество других цифр между данной цифрой и точкой основания. Если данная цифра находится с левой стороны от точки основания (т. Е. Ее значение является целым числом), то n является положительным или нулевым; если цифра находится с правой стороны от точки основания (т. Е. Ее значение дробное), то n отрицательно.

В качестве примера использования число 465 в соответствующей базе b (которая должна быть не менее базы 7, поскольку старшая цифра в ней равна 6) равно:

4х b 2 +6х b 1 +5х b 0   

Если бы число 465 было в базе-10, то оно было бы равно:

4 х 10  2 + 6х 10 1 + 5 х 10  0 = 4х 100 + 6х 10 + 5 х 1 = 465

(465 ₁₀ = 465 ₁₀ )

Однако, если бы число было в базе 7, то оно было бы равно:

4х 7 ² +6х 7 ¹ +5х 7 ⁰ =4х 49+6х 7+5х 1=243} (465 ₇ = 243 ₁₀ )

10 b = b для любого основания b, поскольку 10 b = 1×b1 + 0×b0. Например, 10 2 = 2; 10 3 = 3; 10 16 = 16 10. Обратите внимание, что последняя цифра "16" указана в базе 10. Основание не имеет значения для однозначных цифр.

Эту концепцию можно продемонстрировать с помощью диаграммы. Один объект представляет одну единицу. Когда количество объектов равно или больше базового b, создается группа объектов с b объектами. Когда число этих групп превышает b, то создается группа из этих групп объектов с b группами из b объектов; и так далее. Таким образом, одно и то же число в разных базах будет иметь разные значения:

241 в основании 5:

2 группы по 5 2 (25) 4 группы по 5 1 группа по 1

ооооо ооооо

ооооо ооооо ооооо ооооо

ооооо ооооо + + ооооо ооооо ооооо

ооооо ооооо ооооо ооооо

ооооо ооооо

241 в основании 8:

2 группы по 82 (64) на 4 группы из 8 1 Группа 1
оооооооо оооооооо
оооооооо оооооооо
оооооооо оооооооо оооооооо оооооооо
оооооооо оооооооо + + о
оооооооо оооооооо
оооооооо оооооооо оооооооо оооооооо
оооооооо оооооооо
оооооооо оооооооо

Нотация может быть дополнительно дополнена, разрешив начальный знак минус. Это позволяет представлять отрицательные числа. Для данной базы каждое представление соответствует ровно одному действительному числу, и каждое действительное число имеет по крайней мере одно представление. Представления рациональных чисел - это те представления, которые являются конечными, используют штриховую нотацию или заканчиваются бесконечно повторяющимся циклом цифр.

Цифры и цифры

Цифра - это символ, который используется для позиционной нотации, а цифра состоит из одной или нескольких цифр, используемых для представления числа в позиционной нотации. Сегодня наиболее распространенными цифрами являются десятичные цифры "0", "1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8", и "9". Различие между цифрой и цифрой наиболее ярко проявляется в контексте числовой базы.

Ненулевая цифра с более чем одной позицией цифры будет означать другое число в другой числовой базе, но в целом цифры будут означать одно и то же.[12] Например, цифра 23 8 с основанием 8 содержит две цифры, "2" и "3", и с базовым номером (с индексом) "8". При преобразовании в базовую-10, 23 8 эквивалентно 19 10, т.е. 23 8 = 19 10. В нашей системе счисления здесь нижний индекс "8" цифры 23 8 является частью цифры, но это может быть не всегда.

Представьте, что цифра "23" имеет неоднозначное базовое число. Тогда "23", вероятно, может быть любой базой, начиная с базы-4 и выше. В базе-4 "23" означает 11 10, то есть 23 4 = 11 10. В базе-60 "23" означает число 123 10, то есть 23 60 = 123 10. Тогда цифра "23" в этом случае соответствует набору чисел с основанием 10 {11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, ..., 121, 123} в то время как его цифры "2" и "3" всегда сохраняют свое первоначальное значение: "2"означает "два из", а "3" означает "три из".

В некоторых приложениях, когда цифра с фиксированным числом позиций должна представлять большее число, можно использовать более высокую числовую базу с большим количеством цифр на позицию. Трехзначная десятичная цифра может представлять только до 999. Но если увеличить базовое число до 11, скажем, добавив цифру "A", то те же три позиции, увеличенные до "AAA", могут представлять число, равное 1330. Мы могли бы снова увеличить числовую базу и присвоить "B" 11 и так далее (но также возможно шифрование между числом и цифрой в иерархии число-цифра-цифра). Трехзначная цифра "ZZZ" с основанием 60 может означать 215 999. Если мы используем всю коллекцию наших буквенно-цифровых символов, мы могли бы в конечном итоге использовать систему счисления с основанием 62, но мы удаляем две цифры, прописные "I" и прописные "O", чтобы уменьшить путаницу с цифрами "1" и "0". Мы остаемся с основанием 60или шестидесятеричная система счисления, использующая 60 из 62 стандартных буквенно-цифровых символов. (Но см. шестидесятеричную систему ниже.) В общем, число возможных значений, которые могут быть представлены d}dцифрой в базе r}r, равно r^{d} r^{d}}.

Распространенными системами счисления в информатике являются двоичная (основание 2), восьмеричная (основание 8) и шестнадцатеричная (основание 16). В двоичной системе счисления только цифры "0" и "1". В восьмеричных цифрах восемь цифр 0-7. Шестнадцатеричное значение равно 0-9 A–F, где десять цифр сохраняют свое обычное значение, а алфавиты соответствуют значениям 10-15, в общей сложности шестнадцать цифр. Цифра "10" является двоичной цифрой "2", восьмеричной цифрой "8" или шестнадцатеричной цифрой "16".

Точка основания

Основная статья: Точка основания

Запись может быть расширена до отрицательных показателей основания b. Таким образом, так называемая точка основания, в основном ».«, используется в качестве разделителя позиций с неотрицательным показателем от позиций с отрицательным показателем.

Числа, которые не являются целыми числами, используют места за точкой основания. Для каждой позиции за этой точкой (и, следовательно, после цифры единиц измерения) показатель степени n степени bn уменьшается на 1, а степень приближается к 0. Например, число 2.35 равно:

2х 10 0 +3х 10 -1 +5х 10 -2

Знак

Основная статья: Знак (математика)

Если основание и все цифры в наборе цифр неотрицательны, отрицательные числа не могут быть выражены. Чтобы преодолеть это, в систему счисления добавляется знак минус, здесь »-«. В обычной системе счисления она добавляется к строке цифр, представляющих неотрицательное число.

Базовое преобразование

Преобразование в базу b_{2}}b_{2}целого числа n, представленного в базе{\b_{1}}b_{1}, может быть выполнено путем последовательности евклидовых делений на b_{2}:} b_{2}:}крайнюю правую цифру в базе b_{2}}b_{2}- это остаток от деления n на b_{2};} b_{2};}вторую крайнюю правую цифру - это остаток от деления частного на b_{2},} b_{2},}и так далее. Крайняя левая цифра - это последнее частное. В общем случае, k−я цифра справа является остатком от деления на b_{2}}b_{2}(k-1)-е частное.

Например: преобразование шестнадцатеричного A10B в десятичное (41227):

0xA10B/10 = 0x101A R: 7 (единицы места)

0x101A/10 = 0x19C R: 2 (десятичное место)

0x19C/10 = 0x29 R: 2 (сотня мест)
0x29/10 = 0x4 R: 1 ...
4

При преобразовании в большую базу (например, из двоичной в десятичную) остаток представляется {\displaystyle b_{2}}b_{2}в виде одной цифры, используя цифры из {\displaystyle b_{1}}b_{1}. :Например: преобразование 0b11111001 (двоичный) в 249 (десятичный):

0b11111001 /10 = 0b11000 R: 0b1001 (0b1001 = "9" для единиц места)

0b11000 / 10 = 0b10 R: 0b100 (0b100 = "4" для десятков)
0b10/10 = 0b0 R: 0b10 (0b10 = "2" для сотен)

Для дробной части преобразование может быть выполнено путем взятия цифр после точки основания (числителя) и деления его на подразумеваемый знаменатель в целевом основании. Аппроксимация может потребоваться из-за возможности не заканчивающихся цифр, если знаменатель уменьшенной дроби имеет простой множитель, отличный от любого простого множителя (ов) основания для преобразования. Например, 0,1 в десятичной системе счисления (1/10) равно 0b1 / 0b1010 в двоичной системе счисления, при делении этого значения на этот радиус результатом будет 0b0.0 0011 (потому что один из простых множителей 10 равен 5). Для более общих дробей и оснований см. Алгоритм для положительных оснований.

На практике метод Хорнера более эффективен, чем повторное деление, требуемое выше[14] [требуется лучший источник]. Число в позиционной системе счисления можно рассматривать как многочлен, где каждая цифра является коэффициентом. Коэффициенты могут быть больше одной цифры, поэтому эффективным способом преобразования базисов является преобразование каждой цифры, а затем вычисление многочлена с помощью метода Хорнера в пределах целевой базы. Преобразование каждой цифры представляет собой простую таблицу поиска, устраняющую необходимость в дорогостоящих операциях деления или деления по модулю; а умножение на x становится сдвигом вправо. Однако другие алгоритмы вычисления полиномов также будут работать, например, повторное возведение в квадрат для одиночных или разреженных цифр. Пример:

Преобразовать 0xA10B в 41227

A10B = (10*16^3) + (1*16^2) + (0*16^1) + (11*16^0)

Таблица поиска:
0x0 = 0
0x1 = 1
...
0x9 = 9
0xA = 10
0xB = 11
0xC = 12
0xD = 13
0xE = 14
0xF = 15
Следовательно, десятичные цифры 0xA10B равны 10, 1, 0 и 11.

Расположите цифры вот так. Самая значимая цифра (10) - "отброшена".:
10 1 0 11 <- Цифры 0xA10B

---------------

10 Затем мы умножаем нижнее число из исходной базы (16), произведение помещается под следующей цифрой исходного значения, а затем добавляем:

10 1 0 11
160
---------------
10 161

Повторяйте, пока не будет выполнено окончательное сложение:
10 1 0 11
160 2576 41216
---------------
10 161 2576 41227

и это 41227 в десятичной системе счисления.

Преобразовать 0b11111001 в 249

Таблица поиска:
0b0 = 0
0b1 = 1

Результат:

1 1 1 1 1 0 0 1 <- Цифры 0b11111001
2 6 14 30 62 124 248
-------------------------
1 3 7 15 31 62 124 249

Конечные дроби

Числа, имеющие конечное представление, образуют полукольцо

{\frac {N} _{0}}{b^ {N} _{0}}}}:=\left\{mb^{-\nu }\mid m\in \ {N} _{0}\wedge \nu \in \ {N} _{0}\right\}.} {\frac {N} _{0}}{b^{\{N} _{0}}}}:=\ слева\{mb^{-\nu }\mid m\in \mathbb {N} _{0}\wedge \nu \in \ {N} _{0}\right\}.} Более явно, если p_{1}^{\nu _{1}}\cdot \ldots \cdot p_{n}^{\nu _{n}}:=b} p_{1}^{\nu _{1}}\cdot \ldots \cdot p_{n}^{\nu _{n}}:=b}является разложением { b}bна простые p_{1},\ldots ,p_{n}\in \ {P} } p_{1},\ldots ,p_{n}\in \{P} }числа с показателями \nu _{1},\ldots ,\nu _{n}\in {N} \nu _{1},\ldots ,\nu _{n}\in \ {N} }[15] , то с непустым множеством знаменателей S:=\{p_{1},\ldots ,p_{n}\}} S:=\{p_{1},\ldots ,p_{n}\}}мы имеем

\ {Z} _{S}:=\left\{x\in \ {Q} \left|\,\exists \mu _{i}\in {Z} :x\prod _{i=1}^{n}{p_{i}}^{\mu _{i}}\in \ {Z} \right.\right\}=b^{ {Z} }\, {Z} ={\langle S\rangle }^{-1}\mathbb {Z} }{\displaystyle \ {Z} _{S}:=\left\{x\in {Q} \left|\,\exists \mu _{i}\in \mathbb {Z} :x\prod _{i=1}^{n}{p_{i}}^{\mu _{i}}\in \ {Z} \right.\right\}=b^{\ {Z} } \,\mathbb {Z} ={\langle S\ rangle }^{-1}\mathbb {Z} } где { \langle S\rangle }\langle S\rangle группа, порожденная p\in S}p\in Sи {\langle S\rangle }^{-1}\ {Z} }{\displaystyle {\langle S\ rangle }^{-1}\ {Z} }является так называемой локализацией {\displaystyle \mathbb {Z} }\mathbb {Z} относительно {\displaystyle S}S.

Знаменатель элемента из {Z} _{S} \ {Z} _{S}}содержит, если свести его к наименьшим членам, только простые множители из {\displaystyle S}S. Это кольцо всех конечных дробей с основанием b}bявляется плотным в области рациональных чисел \mathbb {Q} } {Q} . Ее завершение для обычной (архимедовой) метрики такое же, как для {Q} }\mathbb {Q} , а именно действительных чисел {R} }\mathbb {R} . Итак, if S=\{p\}} S=\{p\}}then \{Z} _{\{p\}}} {Z} _{\{p\}}}не следует путать с \mathbb {Z} _{(p)}\{Z} _{(p)}}, дискретным кольцом оценки для простого p}p числа, которое равно {Z} _{T}} \ {Z} _{T}}with T=\ {P} \setminus \{p\}} T=\ {P} \setminus \{p\}}.

Если b}bделится c}c, мы имеем b^ {Z} }\,\mathbb {Z} \subseteq c^{\mathbb {Z} }\, {Z} .} b^{\mathbb {Z}}\,\mathbb {Z} \subseteq c^{\ {Z}}\,\ {Z} .}

Бесконечные представления

Рациональные числа

Представление нецелых чисел может быть расширено, чтобы разрешить бесконечную строку цифр за пределами точки. Например, 1,121121112111122 ... основание-3 представляет сумму бесконечного ряда:

1х 3 0 +
1х 3 -1 +2х 3 -2 +
1х 3 -3 +1х 3 -4 +2х 3 -5 +
1х 3 -6 +1х 3 -7 +1х 3 -8 +2х 3 -9 +
1х 3 -10 +1х 3 -11 +1х 3 -12 +1х 3 -13 +2х 3 -14 + ....

Поскольку полная бесконечная строка цифр не может быть записана явно, завершающее многоточие (...) обозначает пропущенные цифры, которые могут следовать или не следовать какому-либо шаблону. Один из распространенных шаблонов - это когда конечная последовательность цифр повторяется бесконечно. Это обозначается путем рисования винкулума поперек повторяющегося блока:

2.42 314 5 =2.42314314314314314 5 ....

Это повторяющаяся десятичная нотация (для которой не существует единой общепринятой нотации или формулировки). Для основания 10 она называется повторяющейся десятичной или повторяющейся десятичной.

Иррациональное число имеет бесконечное неповторяющееся представление во всех целочисленных базисах. Имеет ли рациональное число конечное представление или требует бесконечного повторяющегося представления, зависит от основания. Например, одна треть может быть представлена:

0.1 3   
0. 3 10 =0.3333333 ...10

или, с подразумеваемым основанием:

0. 3 =0.3333333\dots 3 = 0,3333333 .... (см. также 0,999...)
0. 01 2 =0.010101 ... 2  
0.2 6

Для целых чисел p и q с gcd (p, q) = 1 дробь p / q имеет конечное представление в базе b тогда и только тогда, когда каждый простой множитель q также является простым множителем b.

Для данного основания любое число, которое может быть представлено конечным числом цифр (без использования штриховой нотации), будет иметь несколько представлений, включая одно или два бесконечных представления:

1. Может быть добавлено конечное или бесконечное число нулей:

3.46 7 =3.460 7 

2. Последняя ненулевая цифра может быть уменьшена на единицу, и добавляется бесконечная строка цифр, каждая из которых соответствует на единицу меньше базовой (или заменяет любые следующие нулевые цифры):

3.46 7 =3.45 6 7
1 10 =0. 9 10   (см. также 0,999...)
220 5 =214. 4 5

Иррациональные числа

Основная статья: Иррациональное число

(Действительное) иррациональное число имеет бесконечное неповторяющееся представление во всех целочисленных базисах.

Примерами являются неразрешимые n-ные корни

y={\sqrt[{n}]{x} y={\sqrt[{n}]{x}}}
с  y^{n}=x} y^{n}=x}и y ∉ Q, числа, которые называются алгебраическими, или числа, подобные

\pi ,e} \pi ,e}

которые являются трансцендентными. Число трансцендентных неисчислимо, и единственный способ записать их с помощью конечного числа символов - это присвоить им символ или конечную последовательность символов.

Приложения

Десятичная система счисления

Основная статья: Десятичное представление

В десятичной системе счисления (основание -10) Индо–арабская система счисления, каждая позиция, начинающаяся справа, представляет собой высшую степень 10. Первая позиция представляет 10 0 (1), вторая позиция 10 1 (10), третья позиция 10 2 (10 × 10 или 100), четвертая позиция 10 3 (10 × 10 × 10 или 1000) и так далее.

Дробные значения обозначаются разделителем, который может меняться в разных местах. Обычно этим разделителем является точка или точка, или Шестидесятеричная система счисления. Раздел редактирования: шестидесятеричная система счисления[<a>править</a> / править код]10-1Вавилонские цифры10-2Греческие цифры

<a>Шестидесятеричная</a> система или система с основанием 60 использовалась для целых и дробных частей <a>вавилонских цифр</a> и других месопотамских систем <a>эллинистическими</a> астрономами, использующими <a>греческие цифры</a> только для дробной части, и до сих пор используется для обозначения современного времени и углов, но только для минут и секунд. Однако не все эти варианты использования были позиционными.

Простое число (символ)3Градус (угол)2Минута (угол)1Секунда (угол)0)

Википедия: требуется цитирование

(2 × 1000 ³ ) + (6 × 100 ² ) + (7 × 10 ⁰ ) + (4 × 1 ¹ ).

или

(2 × 1000) + (6 × 100) + (7 × 10) + (4 × 1).

Шестидесятеричная система счисления

Шестидесятеричная система или система с основанием 60 использовалась для целых и дробных частей вавилонских цифр и других месопотамских систем эллинистическими астрономами, использующими греческие цифры только для дробной части, и до сих пор используется для обозначения современного времени и углов, но только для минут и секунд. Однако не все эти варианты использования были позиционными.

Современное время разделяет каждую позицию двоеточием или простым символом. Например, время может быть 10:25:59 (10 часов 25 минут 59 секунд). В углах используются аналогичные обозначения. Например, угол может составлять 10°25'59" (10 градусов 25 минут 59 секунд). В обоих случаях только минуты и секунды используют шестидесятеричную систему счисления — угловые градусы могут быть больше 59 (один оборот вокруг круга равен 360 °, два оборота равны 720 ° и т.д.), А время и углы используют десятичные доли секунды.]Это контрастирует с числами, используемыми эллинистическими и ренессансными астрономами, которые использовали третьи, четверти и т.д. для более мелких приращений. Там, где мы могли бы написать 10 °25'59,392", они написали бы 10 °25 { 59 {23 }31{} 12{или 10 °25i59ii23iii31iv12v.

Использование набора цифр с прописными и строчными буквами позволяет использовать короткие обозначения для шестидесятеричных чисел, например, 10: 25:59 становится "ARz" (опуская I и O, но не i и o), Что полезно для использования в URL-адресах и т. Д., Но не очень понятно длялюди.

В 1930-х годах <a>Отто Нойгебауэр</a> ввел современную систему счисления для вавилонских и эллинистических чисел, которая заменяет современные десятичные обозначения от 0 до 59 в каждой позиции, используя точку с запятой (;) для разделения целых и дробных частей числа и используя запятую (,) для разделения позиций внутри каждой части.<a>[16]</a> Например, средний <a>синодический месяц</a>, используемый как вавилонскими, так и эллинистическими астрономами и до сих пор используемый в <a>еврейском календаре</a>, составляет 29;31,50,8,20 дней, а угол, используемый в приведенном выше примере, будет записан 10;25,59,23,31,12 градусов.

Вычисление

В вычислениях чаще всего используются двоичные (основание-2), восьмеричные (основание-8) и шестнадцатеричные (основание-16) основания. Компьютеры на самом базовом уровне имеют дело только с последовательностями обычных нулей и единиц, поэтому в этом смысле легче иметь дело со степенями двойки. Шестнадцатеричная система используется как "сокращение" для двоичной системы счисления — каждые 4 двоичных цифры (бита) относятся к одной и только одной шестнадцатеричной цифре. В шестнадцатеричном формате шесть цифр после 9 обозначаются A, B, C, D, E и F (а иногда a, b, c, d, e и f).

Восьмеричная система счисления также используется как еще один способ представления двоичных чисел. В этом случае база равна 8 и, следовательно, только цифрам 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, и 7 используются. При преобразовании из двоичной в восьмеричную каждые 3 бита относятся к одной и только одной восьмеричной цифре.

Шестнадцатеричная, десятичная, восьмеричная и множество других основ использовались для преобразования двоичного кода в текст, реализации арифметики произвольной точности и других приложений.

Список основ и их приложений см. в разделе список систем счисления.

Другие основы человеческого языка

Системы счисления, основанные на 12 (двенадцатеричные или десятичные), были популярны, потому что умножение и деление проще, чем в системе счисления с 10, а сложение и вычитание так же просты. Двенадцать - полезная основа, потому что она имеет много факторов. Это наименьшее общее кратное одному, двум, трем, четырем и шести. В английском языке до сих пор существует специальное слово для обозначения "дюжины", и по аналогии со словом, обозначающим 10 2, сотня, коммерция разработала слово для 12 2, брутто. Стандартные 12-часовые часы и обычное использование 12 в английских единицах подчеркивают полезность базы. Кроме того, до перевода в десятичную систему счисления старая британская валюта фунт стерлингов (GBP) частично использовала основание-12; в шиллинге (ах) было 12 пенсов (d), 20 шиллингов в фунте (£), и, следовательно, 240 пенсов в фунте. Отсюда и термин LSD или, более правильно, £sd.

Цивилизация майя и другие цивилизации доколумбовой Мезоамерики использовали число с основанием 20 (vigesimal), как и несколько североамериканских племен (два из которых находятся в южной Калифорнии). Свидетельства систем счисления по основанию 20 также встречаются в языках центральной и западной Африки.

Остатки галльской системы счисления с основанием 20 также существуют во французском языке, что видно сегодня в названиях чисел от 60 до 99. Например, шестьдесят пять - это soixante-cinq (буквально "шестьдесят [и] пять"), а семьдесят пять - soixante-quinze (буквально "шестьдесят [и] пятнадцать"). Кроме того, для любого числа от 80 до 99 число "десятки в столбцах" выражается как кратное двадцати. Например, восемьдесят два - это четверостишие (буквально, четыре двадцать [с] [и] два), а девяносто два - четверостишие (буквально, четыре двадцать [с] [и] двенадцать). В старофранцузском сорок выражалось как две двадцатки, а шестьдесят - как три двадцатки, так что пятьдесят три выражалось как две двадцатки [и] тринадцать и так далее.

В английском языке тот же подсчет по 20 основаниям используется при использовании "баллов". Хотя она в основном историческая, иногда используется в разговорной речи. 10-й стих 90-го Псалма в версии Библии короля Иакова начинается так: "Дней лет наших шестьдесят лет и десять; и если по силе они равняются восьмидесяти годам, то сила их в труде и скорби". Геттисбергская речь начинается словами: "Четыре десятка и семь лет назад".

В прошлом ирландский язык также использовал 20-ю основу: двадцать - это фичид, сорок дха фичид, шестьдесят три фичид и восемьдесят ceithre fhichid. Остатки этой системы можно увидеть в современном слове, обозначающем 40, daoichead.

Валлийский язык продолжает использовать систему счисления по 20 основаниям, особенно для определения возраста людей, дат и в общих фразах. 15 также важно, а 16-19 - это "один на 15", "два на 15" и т. Д. 18 обычно означает "две девятки". Обычно используется десятичная система.

Языки инуитов используют систему счисления по 20 основаниям. Студенты из Кактовика, Аляска, изобрели систему счисления с 20-м основанием в 1994 году[17]

Датские цифры имеют аналогичную структуру с основанием 20.

Язык маори Новой Зеландии также имеет свидетельства лежащей в основе системы base-20, что видно из терминов Te Hokowhitu a Tu, обозначающих военную партию (буквально "семь 20-х Ту") и Tama-hokotahi, обозначающих великого воина ("один человек, равный 20").

Двоичная система использовалась в Древнем Египетском царстве с 3000 по 2050 год до нашей эры. Она была написана курсивом путем округления рациональных чисел, меньших 1, до 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64, с отброшенным 1/64 термина (система называлась Глаз Гора).

В ряде языков австралийских аборигенов используются двоичные или двоичные системы счисления. Например, в Кала Лагав Я числами от одного до шести являются урапон, укасар, укасар-урапон, укасар-укасар, укасар-укасар-урапон, укасар-укасар-укасар.

Уроженцы Северной и Центральной Америки использовали основание-4 (четвертичное) для обозначения четырех сторон света. Мезоамериканцы, как правило, добавляли вторую систему base-5, чтобы создать модифицированную систему base-20.

Система счисления, состоящая из 5 базовых чисел (quinary), использовалась во многих культурах для подсчета. Очевидно, что она основана на количестве цифр на человеческой руке. Ее также можно рассматривать как подоснову других оснований, таких как основание-10, основание-20 и основание-60.

Восьмеричная система счисления (восьмеричная система счисления) была разработана племенем юки из Северной Калифорнии, которое использовало промежутки между пальцами для счета, соответствующие цифрам от одного до восьми.[18] Существуют также лингвистические данные, свидетельствующие о том, что протоиндоевропейцы бронзового века (от которых происходит большинство европейских и индийских языков), возможно, заменили систему с числом до 8 (или систему, которая могла считать только до 8) на систему с числом до 10. Доказательством является то, что слово для 9, newm, по мнению некоторых, происходит от слова "новый",newo-, предполагающая, что число 9 было недавно изобретено и названо "новым числом".

Многие древние системы счета используют пять в качестве основной основы, почти наверняка исходя из количества пальцев на руке человека. Часто эти системы дополняются вторичной базой, иногда десятью, иногда двадцатью. В некоторых африканских языках слово, обозначающее пять, совпадает со словом "рука" или "кулак" (язык дьола в Гвинее-Бисау, язык банда в Центральной Африке). :Подсчет продолжается путем добавления 1, 2, 3 или 4 к комбинациям из 5, пока не будет достигнута вторичная база. В случае с twenty это слово часто означает "полный человек". Эта система называется пятиквадратичной. Она встречается во многих языках суданского региона.

Язык телефоль, на котором говорят в Папуа-Новой Гвинее, отличается тем, что в нем используется система счисления с 27 основаниями.

Нестандартные позиционные системы счисления

Основная статья: Нестандартные позиционные системы счисления

Интересные свойства существуют, когда основание не является фиксированным или положительным, а когда наборы символов цифр обозначают отрицательные значения. Существует еще много вариантов. Эти системы представляют практическую и теоретическую ценность для специалистов по информатике.

Сбалансированный троичный использует основание 3, но набор цифр равен {1,0,1} вместо {0,1,2}. "1" имеет эквивалентное значение -1. Отрицание числа легко формируется путем включения единиц. Эта система может быть использована для решения проблемы баланса, которая требует нахождения минимального набора известных противовесов для определения неизвестного веса. Веса в 1, 3, 9, ... 3 n известных единиц могут быть использованы для определения любого неизвестного веса с точностью до 1 + 3 + ... + 3 n единиц. Гиря может использоваться с любой стороны весов или не использоваться вообще. Гири, используемые на весах с неизвестным весом, обозначаются цифрой 1, цифрой 1, если используются на пустой сковороде, и цифрой 0, если не используются. Если неизвестный вес W сбалансирован с 3 (3 1) на его лотке и 1 и 27 (3 0 и 3 3) на другом, то его вес в десятичной системе счисления равен 25 или 10 1 1 в сбалансированном основании-3.

10113 = 1 × 33 + 0 × 32 − 1 × 31 + 1 × 30 = 25.

Факториальная система счисления использует переменный радиус, давая факториалы в качестве значений места; они связаны с китайской теоремой об остатках и перечислениями в системе счисления остатков. Эта система эффективно перечисляет перестановки. Производная от этого использует конфигурацию головоломки Башни Ханоя в качестве системы подсчета. Конфигурация башен может быть приведена в соответствие 1 к 1 с десятичным счетом шага, на котором происходит конфигурация, и наоборот.

Т

Десятичные эквиваленты	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Сбалансированное основание 3	10	11	1	0	1	11	10	11	111	110	111	101
Основание -2	1101	10	11	0	1	110	111	100	101	11010	11011	11000
Фактороид				0	10	100	110	200	210	1000	1010	1100

Непозиционные позиции

Каждая позиция сама по себе не обязательно должна быть позиционной. Вавилонские шестидесятеричные цифры были позиционными, но в каждой позиции были группы из двух видов клиньев, представляющих единицы и десятки (узкий вертикальный клин | для единицы и открытый левый клин ⟨ для десяти) — до 5 +9 = 14 символов на позицию (т.е. 5 десятков ⟨⟨⟨⟨⟨ и 9 единиц ||||/|||| сгруппированы в один или два ближних квадрата, содержащих до трех рядов символов, или заполнитель (\\) для отсутствия позиции).[21] Эллинистические астрономы использовали одну или две алфавитные греческие цифры для каждой позиции (одна выбиралась из 5 букв, представляющих 10-50, и / или одна выбиралась из 9 букв, представляющих 1-9, или символ нуля).[22]

Смотрите также

Примеры:

Список систем счисления

• Категория: Позиционные системы счисления
• Связанные темы:

Алгоритм

• Индо–арабская система счисления
• Смешанный радиус
• Нестандартные позиционные системы счисления
• Система счисления
• Научная нотация

Другое:

Значимые цифры

Пруф

tetraksis.ru/attraction/

• intuitor.com/counting/
• .cut-the-knot.org/recurrence/conversion.shtml
• /web.archive.org/web/20170204004954/http://ultrastudio.org/en/M

//web.archive.o/http://ibrarian.net/navon/paper/the_development_of_hi

• web.archive.org/web/20161109022004/http://thedevtoolkit.co