Правильный додекаэдр

Материал из wikixw
Перейти к навигации Перейти к поиску

Правильный додекаэдр или пятиугольный додекаэдр - это правильный додекаэдр, состоящий из 12 правильных пятиугольных граней, по три из которых встречаются в каждой вершине. Это одно из пяти платоновых тел. Он имеет 12 граней, 20 вершин, 30 ребер и 160 диагоналей (60 диагоналей граней, 100 диагоналей пространства).[1] Он представлен символом Шлефли {5,3}.

Додекаэдр

Размеры[править]

Если длина ребра правильного додекаэдра равна { a}a, то радиус описанной сферы (той, которая касается правильного додекаэдра во всех вершинах) равен 

r_{u}=a{\frac {\sqrt {3}}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)\approx 1.401\,258\,538\cdot a}{r_{u}=a{\frac {\sqrt {3}}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)\приблизительно 1.401\,258\,538\cdot a}

(последовательность A179296 в OEIS)

а радиус вписанной сферы (касательной к каждой из граней правильного додекаэдра) равен 

r_{i}=a{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {5}{2}}+{\frac {11}{10}}{\sqrt {5}}}}\approx 1.113\,516\,364\cdot a}{\displaystyle r_{i}=a{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {5}{2}}+{\ фракция {11}{10}}{\sqrt {5}}}}\приблизительно 1.113\,516\,364\cdot a}

в то время как средний радиус, который касается середины каждого ребра, равен 

_{m}=a{\frac {1}{4}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)\approx 1.309\,016\,994\cdot a}{ r_{m}=a{\frac {1}{4}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)\приблизительно 1.309\,016\,994\cdot a}

Эти величины также могут быть выражены как

_{u}=a\,{\frac {\sqrt {3}}{2}}\phi }r_{u}=a\,{\frac {\sqrt {3}}{2}}\phi 

{i}=a\,{\frac {\phi ^{2}}{2{\sqrt {3-\phi }}}}}r_{i}=a\,{\frac {\phi ^{2}}{2{\sqrt {3-\phi }}}}
{m}=a\,{\frac {\phi ^{2}}{2}}}r_{m}=a\,{\frac {\phi ^{2}}{2}}

где ϕ - золотое сечение.

Обратите внимание, что для правильного додекаэдра с длиной ребра один, r u - это радиус сферы, описывающей окружность куба с длиной ребра ϕ, а r i - апофема правильного пятиугольника с длиной ребра ϕ.

Площадь поверхности и объем[править]

Площадь поверхности A и объем V правильного додекаэдра с длиной ребра a равны: 

A=3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}a^{2}\approx 20.645\,728\,807a^{2}}} A=3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}a^{2} \приблизительно 20.645 \,728\,807a^{2}}}
V={\frac {1}{4}}(15+7{\sqrt {5}})a^{3}\approx 7.663\,118\,9606a^{3}} V={\frac {1}{4}}(15+7{\ sqrt {5}})a^ {3} \ приблизительно 7,663\,118\,9606a^{3}}
Кроме того, площадь поверхности и объем правильного додекаэдра связаны с золотым сечением. Додекаэдр с длиной ребра в одну единицу обладает свойствами:[2]
 A={\frac {15\phi }{\sqrt {3-\phi }}}}} A={\frac {15\phi }{\sqrt {3-\phi }}}}}
V={\frac {5\phi ^{3}}{6-2\phi }}}} V={\frac {5\phi ^{3}}{6-2\phi }}}}

Двумерные проекции симметрии[править]

Анимация сетки сложенного правильного (пятиугольного) додекаэдра

Правильный додекаэдр имеет две высокие ортогональные проекции, центрированные на вершинах и пятиугольных гранях, соответствующие плоскостям Кокстера A2 и H2 . :Проекция ребро-центр имеет две ортогональные линии отражения.

В перспективной проекции, рассматриваемой поверх пятиугольной грани, правильный додекаэдр можно рассматривать как диаграмму Шлегеля с линейными краями или стереографическую проекцию как сферический многогранник. Эти проекции также используются для отображения четырехмерного 120-клеточного правильного 4-мерного многогранника, построенного из 120 додекаэдров, проецируя его до 3-х измерений.

Сферическая черепица[править]

Правильный додекаэдр также может быть представлен в виде сферической черепицы.

Декартовы координаты[править]

Следующие декартовы координаты определяют 20 вершин правильного додекаэдра с центром в начале координат и соответствующим масштабом и ориентацией:[3]

(±1, ±1, ±1)

(0, ±ϕ, ±ϕ/1)

(±ϕ/1, 0, ±ϕ)

(±ϕ, ±ϕ/1, 0)
где ϕ =2/1 +√

5 

- это золотое сечение (также записывается τ) ≈ 1,618. Длина ребра равна

ϕ/2 = √5 − 1. Радиус окружности равен √3.

Уравнения, определяющие грани[править]

Подобно симметрии координат вершин, уравнения двенадцати граней правильного додекаэдра также отображают симметрию в их коэффициентах:

x ± ϕy = ±ϕ2
y ± ϕz = ±ϕ2
z ± ϕx = ±ϕ2

Свойства[править]

Двугранный угол правильного додекаэдра составляет 2 арктана (ϕ) или приблизительно 116,565 ° (где снова

ϕ = 2/1 + √ 5 , золотое сечение).

OEIS: A137218 Обратите внимание, что тангенс двугранного угла равен в точности -2.

Если исходный правильный додекаэдр имеет длину ребра 1, его двойной икосаэдр имеет длину ребра ϕ.
Если пять платоновых тел построены с одинаковым объемом, правильный додекаэдр имеет самые короткие ребра.
Он имеет 43 380 ячеек.
Число раскрашиваемых на карте граней правильного додекаэдра равно 4.
Расстояние между вершинами на одной грани, не соединенными ребром, в ϕ раз больше длины ребра.
Если два ребра имеют общую вершину, то середины этих ребер образуют золотой треугольник 36-72-72 с центром тела.

В качестве конфигурации[править]

Эта конфигурационная матрица представляет додекаэдр. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам и граням. Диагональные числа показывают, сколько каждого элемента встречается во всем додекаэдре. Недиагональные числа говорят о том, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или в элементе строки.[4][5]

20 . 3 . 3
2 . 30 . 2
5 . 5 . 12
{матрица}20&3&3\\2&30&2\\5&5&12\ end{матрица}}\end{матрица}}}

Вот конфигурация, расширенная с помощью k-гранных элементов и k-фигур. Количество диагональных элементов - это отношение полной группы Кокстера H3 порядка 120, деленное на порядок подгруппы с удалением зеркала.

Геометрические соотношения[править]

Правильный додекаэдр является третьим в бесконечном множестве усеченных трапецоэдров, которые могут быть построены путем усечения двух осевых вершин пятиугольного трапецоэдра.

Звездочки правильного додекаэдра составляют три из четырех многогранников Кеплера–Пуансо.

Выпрямленный правильный додекаэдр образует икосидодекаэдр.

Правильный додекаэдр имеет икосаэдрическую симметрию ih, группу Кокстера [5,3] порядка 120, с абстрактной групповой структурой 5 × Z2.

Отношение к правильному икосаэдру[править]

Додекаэдр и икосаэдр являются двойственными многогранниками. У правильного додекаэдра 12 граней и 20 вершин, тогда как у правильного икосаэдра 20 граней и 12 вершин. Оба имеют по 30 ребер.

Когда правильный додекаэдр вписан в сферу, он занимает большую часть объема сферы (66,49%), чем икосаэдр, вписанный в ту же сферу (60,55%).

Объем правильного додекаэдра с длиной ребра 1 более чем в три с половиной раза превышает объем икосаэдра с ребрами той же длины (7,663... по сравнению с 2,181...), что составляет приблизительно 3,512 461 179 75, или в точном выражении:

5/3 (3 ϕ + 1) или (1,8 ϕ + 0,6).

Отношение к вложенному кубу Куб может быть встроен в правильный додекаэдр, прикрепленный к восьми его равноудаленным вершинам в пяти различных положениях.[6] Фактически, пять кубов могут перекрываться и блокироваться внутри правильного додекаэдра, что приводит к соединению пяти кубов.

Отношение ребра правильного додекаэдра к ребру куба, встроенного в такой правильный додекаэдр, равно 1 : ϕ, или (ϕ − 1) : 1.

Отношение объема правильного додекаэдра к объему куба, встроенного в такой правильный додекаэдр, равно 1 :

2 +ϕ/2

, или

2/1+ϕ
1, или (5 + √5) : 4.

Например, встроенный куб с объемом 64 (и длиной ребра 4) будет находиться внутри правильного додекаэдра объемом 64 + 32 ϕ (и длиной ребра 4 ϕ − 4).

Таким образом, разница в объеме между охватывающим правильным додекаэдром и замкнутым кубом всегда равна половине объема куба, умноженного на ϕ.

Из этих соотношений выводятся простые формулы для объема правильного додекаэдра с длиной ребра a в терминах золотого среднего:

V = (aϕ)3 · 4/1(5 + √5)

V = 4/1(14ϕ + 8)a3

Отношение к правильному тетраэдру[править]

Поскольку в куб можно вписать два противоположных тетраэдра, а в додекаэдр можно вписать пять кубов, в додекаэдр можно вписать десять тетраэдров в пяти кубах: два противоположных набора по пять, причем каждый набор охватывает все 20 вершин, и каждая вершина в двух тетраэдрах (по одному из каждого набора, но непротивоположная пара). Точно так же, как тетраэдр может быть вписан в куб, так и куб может быть вписан в додекаэдр. При возвратно-поступательном движении это приводит к октаэдру, описанному вокруг икосаэдра. Фактически, каждая из двенадцати вершин икосаэдра делит ребро октаэдра в соответствии с "золотым сечением". Учитывая икосаэдр, описанный октаэдр может быть выбран пятью способами, что дает соединение из пяти октаэдров, которое подпадает под наше определение звездчатого икосаэдра. (Обратное соединение из пяти кубов, вершины которых принадлежат додекаэдру, является звездчатым триаконтаэдром.) Можно сразу вывести другой звездчатый икосаэдр, разложив каждый октаэдр в восьмеричную форму стеллы, образуя таким образом соединение из десяти тетраэдров. Далее, мы можем выбрать один тетраэдр из каждого восьмеричного треугольника стеллы, чтобы получить соединение из пяти тетраэдров, которое по-прежнему обладает всей симметрией вращения икосаэдра (i.e. группа икосаэдров), хотя он потерял отражения. Отражая эту фигуру в любой плоскости симметрии икосаэдра, мы получаем дополнительный набор из пяти тетраэдров. Эти два набора из пяти тетраэдров энантиоморфны, то есть не совпадают напрямую, но связаны, как пара ботинок. [Такая] фигура, которая не обладает плоскостью симметрии (так что она энантиоморфна своему зеркальному отражению), называется киральной.

Отношение к золотому прямоугольнику[править]

Золотые прямоугольники с соотношением (ϕ + 1): 1 и ϕ :1 также идеально вписываются в правильный додекаэдр.[8] В пропорции к этому золотому прямоугольнику ребро замкнутого куба равно ϕ, когда большая длина прямоугольника равна ϕ + 1 (или ϕ 2), а короткая длина равна 1 (ребро, общее с правильным додекаэдром).

Кроме того, центр каждой грани правильного додекаэдра образуют три пересекающихся золотых прямоугольника.[9]

Отношение к 6-кубическому и ромбическому триаконтаэдру[править]

Его можно спроецировать в 3D из 6-мерного 6-полукуба, используя те же базисные векторы, которые образуют оболочку ромбического триаконтаэдра из 6-куба. Показанный здесь, включая внутренние 12 вершин, которые не соединены внешними ребрами оболочки 6D нормальной длины √2, образуют правильный икосаэдр.

Используемые базисные векторы трехмерной проекции [u, v, w] являются:

u = (1, ϕ, 0, -1, ϕ, 0)
v = (ϕ, 0, 1, ϕ, 0, -1)
w = (0, 1, ϕ, 0, -1, ϕ)

История и использование[править]

Правильные додекаэдрические объекты нашли некоторое практическое применение, а также сыграли определенную роль в изобразительном искусстве и философии.

Ямвлих утверждает, что Гиппас, пифагорейец, погиб в море, потому что он хвастался, что первым разгласил "сферу с двенадцатью пятиугольниками".[10] В "Теэтете", диалоге Платона, Платон выдвинул гипотезу о том, что классические элементы состоят из пяти однородных правильных тел; позже они стали известны какплатоновы тела. О пятом платоновом твердом теле, додекаэдре, Платон туманно заметил: "... бог использовал [его] для расположения созвездий на всем небе". Тимей (около 360 г. до н. э.), как персонаж диалога Платона, связывает остальные четыре платоновых тела с четырьмя классическими элементами, добавляя, что существует пятый твердый узор, который, хотя обычно ассоциируется с правильным додекаэдром, никогда напрямую не упоминается как таковой; "этот Бог использовал в описанииВселенной".[11] Аристотель также постулировал, что небеса состоят из пятого элемента, который он назвал aithêr (эфир на латыни, эфир на американском английском).

Теэтет дал математическое описание всех пяти и, возможно, был ответственен за первое известное доказательство того, что других выпуклых правильных многогранников не существует. Евклид полностью математически описал платоновы твердые тела в "Элементах", последняя книга (книга XIII) которой посвящена их свойствам. Предложения 13-17 в книге XIII описывают построение тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в таком порядке. Для каждого твердого тела Евклид находит отношение диаметра описанной сферы к длине ребра. В предложении 18 он утверждает, что больше не существует выпуклых правильных многогранников.

Правильные додекаэдры использовались в качестве игральных костей и, вероятно, также в качестве гадательных устройств. В эпоху эллинизма были изготовлены небольшие полые бронзовые римские додекаэдры, которые были найдены в различных римских руинах в Европе. Их назначение не определено.

В искусстве 20-го века додекаэдры появляются в работах М. К. Эшера, таких как его литографии "Рептилии" (1943) и "Гравитация" (1952). На картине Сальвадора Дали "Таинство тайной вечери" (1955) комната представляет собой полый правильный додекаэдр. Джерард Кэрис основал все свое художественное творчество на правильном додекаэдре и пятиугольнике, которые представлены как новое художественное направление, получившее название пентагонизм.

В современных ролевых играх правильный додекаэдр часто используется в качестве двенадцатигранного кубика, одного из наиболее распространенных многогранных кубиков.

Компания Immersive Media Company, бывшая канадская компания по производству цифровых изображений, выпустила камеру Dodeca 2360, первую в мире 360-градусную полноэкранную камеру, которая снимает видео высокого разрешения со всех сторон одновременно со скоростью более 100 миллионов пикселей в секунду или 30 кадров в секунду.[рекламный язык]Он основан на правильном додекаэдре.[требуется цитирование]

Головоломка Megaminx twisty, наряду со своими аналогами большего и меньшего порядка, имеет форму правильного додекаэдра.

В детском романе The Phantom Tollbooth правильный додекаэдр появляется как персонаж в стране Математики. Каждое из его лиц имеет разное выражение – например, счастливое, сердитое, грустное, – которое он поворачивает вперед, как требуется, чтобы соответствовать его настроению.

В природе[править]

Ископаемый кокколитофор Braarudosphaera bigelowii (см. рисунок), одноклеточная прибрежная фитопланктонная водоросль, имеет оболочку из карбоната кальция с правильной додекаэдрической структурой около 10 микрометров в поперечнике.[12]

Некоторые квазикристаллы имеют форму додекаэдра (см. рисунок). Говорят, что некоторые правильные кристаллы, такие как гранат и алмаз, также имеют "додекаэдрическую" форму, но на самом деле это утверждение относится к форме ромбического додекаэдра.

Форма вселенной[править]

Для глобальной геометрии Вселенной были предложены различные модели. В дополнение к примитивным геометриям, эти предложения включают в себя додекаэдрическое пространство Пуанкаре, положительно искривленное пространство, состоящее из правильного додекаэдра, противоположные грани которого соответствуют (с небольшим изгибом). Это было предложено Жан-Пьером Люмине и его коллегами в 2003 году[14][15], а оптимальная ориентация на небе для модели была оценена в 2008 году[16].

В рассказе Бертрана Рассела 1954 года "Кошмар математика: видение профессора Скуарепанта" число 5 говорит: "Я - число пальцев на руке. Я делаю пятиугольники и пентаграммы. И если бы не я, додекаэдры не могли бы существовать; и, как всем известно, Вселенная - это додекаэдр. Так что, если бы не я, Вселенной не могло быть ".

Заполнение пространства кубом и билунабиротундой[править]

Правильные додекаэдры заполняют пространство кубами и билунабиротундами (твердое тело Джонсона 91) в соотношении 1 к 1 к 3.]Одни только додекаэдры образуют решетку из пиритоэдров от края до края. Билунабиротунды заполняют ромбические промежутки. Каждый куб соответствует шести билунабиротундам в трех ориентациях.

Связанные многогранники и разбиения[править]

Правильный додекаэдр топологически связан с серией разбиений вершиной рис . n 3.

Правильный додекаэдр может быть преобразован с помощью последовательности усечения в его двойственный, икосаэдр:

Правильный додекаэдр является членом последовательности неоднородных многогранников и многогранников, состоящих из пятиугольников с конфигурациями граней (V3.3.3.3.n). (При n > 6 последовательность состоит из разбиений гиперболической плоскости.) Эти переходные к граням фигуры имеют (n 32) вращательную симметрию.

Расположение вершин[править]

Расположение вершин правильного додекаэдра совпадает с расположением вершин четырех невыпуклых однородных многогранников и трех однородных составных многогранников.

Внутри помещается пять кубов, ребра которых являются диагоналями граней правильного додекаэдра, и вместе они составляют правильное многогранное соединение из пяти кубов. Поскольку два тетраэдра могут умещаться на альтернативных вершинах куба, пять и десять тетраэдров также могут умещаться в правильном додекаэдре.

Звездообразные[править]

Все 3 звезды правильного додекаэдра являются правильными (невыпуклыми) многогранниками: (Многогранники Кеплера–Пуансо)

Додекаэдрический граф[править]

Скелет додекаэдра (вершины и ребра) образуют граф. Это один из 5 платоновых графов, каждый из которых представляет собой скелет своего платонова твердого тела.

Этот граф также может быть построен как обобщенный граф Петерсена G(10,2). Высокая степень симметрии многоугольника воспроизводится в свойствах этого графика, который является транзитивным по расстоянию, регулярным по расстоянию и симметричным. Группа автоморфизмов имеет порядок 120. Вершины могут быть окрашены в 3 цвета, как и ребра, а диаметр равен 5.

Додекаэдрический граф является гамильтоновым – существует цикл, содержащий все вершины. Действительно, это название происходит от математической игры, изобретенной в 1857 году Уильямом Роуэном Гамильтоном, икосианской игры. Целью игры было найти гамильтонов цикл по краям додекаэдра.

Смотрите также[править]

120-ячеечный, правильный многоугольник (4D многогранник, поверхность которого состоит из 120 додекаэдрических ячеек)

Пруф[править]

//mathworld.wolfram.com/RegularDodecahedron.ht

Источник — https://wikixw.ru/index.php?title=Правильный_додекаэдр&oldid=61454