Принцип стационарного действия
Эта статья посвящена истории принципа наименьшего действия. Для применения см. Действие (физика). Принцип стационарного действия, также известный как принцип наименьшего действия, является вариационным принципом, который при применении к действию механической системы дает уравнения движения для этой системы. Принцип гласит, что траектории (т.е. Решения уравнений движения) являются стационарными точками функционала действия системы. Термин "наименьшее действие" является исторически неправильным, поскольку принцип не требует минимальности: значение функционала действия не обязательно должно быть минимальным (даже локально) на траекториях.
Этот принцип может быть использован для вывода ньютоновых, лагранжевых и гамильтоновых уравнений движения и даже общей теории относительности (см. Действие Эйнштейна–Гильберта). В теории относительности другое действие должно быть сведено к минимуму или максимизировано.
Классическая механика и электромагнитные выражения являются следствием квантовой механики. Метод стационарного действия помог в развитии квантовой механики. В 1933 году физик Поль Дирак продемонстрировал, как этот принцип может быть использован в квантовых вычислениях, обнаружив квантово-механическую основу принципа в квантовой интерференции амплитуд. Впоследствии Джулиан Швингер и Ричард Фейнман независимо применили этот принцип в квантовой электродинамике.
Принцип остается центральным в современной физике и математике, применяясь в термодинамике, механика жидкости, теория относительности, квантовая механика, физика элементарных частиц и теория струн и является предметом современных математических исследований в области Морзе.теория. Принцип Мопертюи и принцип Гамильтона иллюстрируют принцип стационарного действия.
Принципу действия предшествуют более ранние идеи в оптике. В Древней Греции Евклид писал в своей "Катоптрике", что для пути света, отражающегося от зеркала, угол падения равен углу отражения. Герой Александрии позже показал, что этот путь был кратчайшей длины и наименьшего времени.
Ученые часто приписывают Пьеру Луи Мопертюи формулировку принципа наименьшего действия, потому что он писал об этом в 1744 году и 1746 году[15].Однако Леонард Эйлер обсуждал этот принцип в 1744 году, и данные показывают, что Готфрид Лейбниц опередил обоих на 39 лет.
Общее утверждение[править]
Обозначаемое действие {S}}}{\mathcal {S}}физической системы определяется как интеграл лагранжиана L между двумя моментами времени t1 и t2 – технически функционал N обобщенных координат q = (q1, q2, ... , qn), которые являются функциями времени и определяют конфигурацию системы:
{q} :\mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{N} {q} : {R} \to \mathbf {R} ^{N}}
{\{S}}[ {q} ,t_{1},t_{2}]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\ {q} (t),\{\dot {q}} (t),t)dt}{\ {S}}[\ {q} ,t_{1},t_{2}]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\ {q} (t),\ {\dot{q}} (t), t)dt}
- где точка обозначает производную по времени, а t - время.
- Математически принцип равен
delta {\mathcal {S}}=0,\delta {\mathcal {S}}=0,} где δ (строчная греческая дельта) означает небольшое изменение. На словах это звучит так:
- Путь, пройденный системой между временами t1 и t2 и конфигурациями q1 и q2, является тем, для которого действие является стационарным (без изменений) до первого порядка.
- Стационарное действие не всегда является минимальным, несмотря на историческое название наименьшего действия. 19-6 Это принцип минимума для достаточно коротких конечных отрезков пути.
В приложениях утверждение и определение действия берутся вместе:
\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)dt=0. \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)dt=0.}
- Действие и лагранжиан содержат динамику системы для всех времен. Термин "траектория" просто относится к кривой, прослеживаемой системой в терминах координат в конфигурационном пространстве, то есть к кривой q (t), параметризованной временем (см. Также параметрическое уравнение для этой концепции).
Происхождение, утверждения и противоречия[править]
Ферма[править]
Основная статья: Принцип Ферма
В 1600-х годах Пьер де Ферма постулировал, что "свет проходит между двумя заданными точками по пути наименьшего времени", который известен как принцип наименьшего времени или принцип Ферма.
Maupertuis[править]
Основная статья: Принцип Мопертюи
Заслугу в формулировании принципа наименьшего действия обычно отдают Пьеру Луи Мопертюи, который считал, что "Природа бережлива во всех своих действиях", и широко применял этот принцип:
Законы движения и покоя, выведенные из этого принципа, в точности совпадают с законами, наблюдаемыми в природе, и мы можем восхищаться его применением ко всем явлениям. Движение животных, вегетативный рост растений ... это только его следствия; и зрелище вселенной становится тем величественнее, тем прекраснее, тем достойнее его Создателя, когда человек знает, что небольшого числа законов, наиболее мудро установленных, достаточно для всех движений.
— Pierre Louis Maupertuis Это понятие Мопертюи, хотя и несколько детерминированное сегодня, отражает большую часть сути механики.
В применении к физике Мопертюи предположил, что величина, подлежащая минимизации, является произведением продолжительности (времени) движения внутри системы на "vis viva",
Принцип Мопертюи
\delta \int 2T(t)dt=0}\delta \int 2T(t)dt=0
который является интегралом от удвоенной величины, которую мы сейчас называем кинетической энергией T системы.
Эйлер[править]
Леонард Эйлер дал формулировку принципа действия в 1744 году, в очень узнаваемых терминах, в дополнении 2 к своему Методу изобретения линий максимальных кривых. Начиная со второго абзаца:
Пусть масса снаряда равна M, а его скорость равна v при перемещении на бесконечно малое расстояние ds. Тело будет иметь импульс Mv, который при умножении на расстояние ds даст Mv ds, импульс тела, интегрированный по расстоянию ds. Теперь я утверждаю, что кривая, описываемая таким образом телом, является кривой (среди всех других кривых, соединяющих одни и те же конечные точки), которая минимизирует
\int Mv\,ds \int Mv\,ds
- или, при условии, что M является постоянным вдоль пути,
- M\int v\,ds. M\int v\,ds.}
Леонард Эйлер
Как утверждает Эйлер, ∫Mv ds является интегралом импульса по пройденному расстоянию, что в современных обозначениях равно сокращенному или сокращенному действию
Принцип Эйлера
- a \int p\,dq=0}\delta \int p\,dq=0
Таким образом, Эйлер сделал эквивалентное и (по-видимому) независимое утверждение вариационного принципа в том же году, что и Мопертюи, хотя и немного позже. Любопытно, что Эйлер не претендовал на какой-либо приоритет, как показывает следующий эпизод.
Спорный приоритет[править]
Приоритет Мопертюи был оспорен в 1751 году математиком Самуэлем Кенигом, который утверждал, что он был изобретен Готфридом Лейбницем в 1707 году. Хотя он похож на многие аргументы Лейбница, сам принцип не был задокументирован в работах Лейбница. Сам Кениг показал копию письма Лейбница Якобу Герману от 1707 года с принципом, но оригинал письма утерян. В ходе судебного разбирательства Кенига обвинили в подлоге, и даже король Пруссии вступил в дискуссию, защищая Мопертюи (главу своей Академии), в то время как Вольтер защищал Кенига.
Эйлер, вместо того, чтобы претендовать на приоритет, был убежденным защитником Мопертюи, и сам Эйлер 13 апреля 1752 года предъявил Кенигу обвинение в подделке документов перед Берлинской академией.Обвинения в подделке были пересмотрены 150 лет спустя, и архивная работа К.И. Герхардта в 1898 году и В. Кабица в 1913 году обнаружила другие копии письма и три других, цитируемых Кенигом, в архивах Бернулли.
Дальнейшее развитие[править]
Эйлер продолжал писать на эту тему; в своих размышлениях о поисках общих принципов природы (1748) он назвал действие "усилием". Его выражение соответствует современной потенциальной энергии, а его утверждение о наименьшем действии гласит, что полная потенциальная энергия системы тел в состоянии покоя минимизируется, принцип современной статики.
Лагранж и Гамильтон[править]
Основная статья: Принцип Гамильтона
Большая часть вариационного исчисления была изложена Джозефом-Луи Лагранжем в 1760 году, и он продолжил применять это к задачам динамики. В "Механике анализа" (1788) Лагранж вывел общие уравнения движения механического тела. Уильям Роуэн Гамильтон в 1834 и 1835 годах применил вариационный принцип к классической функции Лагранжа
L=T-V}
- чтобы получить уравнения Эйлера–Лагранжа в их нынешнем виде.
Якоби, Морзе и Каратеодори[править]
В 1842 году Карл Густав Якоби занялся проблемой того, всегда ли вариационный принцип находит минимумы в отличие от других стационарных точек (максимумов или стационарных седловых точек); большая часть его работ была сосредоточена на геодезических на двумерных поверхностях.Первые четкие общие утверждения были даны Марстоном Морсом в 1920-х и 1930-х годах[34], что привело к тому, что сейчас известно как теория Морса. Например, Морзе показал, что число сопряженных точек на траектории равно числу отрицательных собственных значений во второй вариации лагранжиана. Особенно элегантный вывод уравнения Эйлера-Лагранжа был сформулирован Константином Каратеодори и опубликован им в 1935 году.
Гаусс и Герц[править]
Были сформулированы другие экстремальные принципы классической механики, такие как принцип наименьшего ограничения Гаусса и его следствие, принцип наименьшей кривизны Герца.
Споры о возможных телеологических аспектах[править]
Математическая эквивалентность дифференциальных уравнений движения и их интегрального аналога имеет важные философские последствия. Дифференциальные уравнения - это утверждения о величинах, локализованных в одной точке пространства или в один момент времени. Например, второй закон Ньютона
{F} =m\{a} } {F} =m\ {a
утверждает, что мгновенная сила F, приложенная к массе m, создает ускорение a в тот же момент. Напротив, принцип действия не локализован в точке; скорее, он включает интегралы по интервалу времени и (для полей) расширенной области пространства. Более того, в обычной формулировке классических принципов действия начальное и конечное состояния системы фиксированы, например,
- Учитывая, что частица начинается в положении x1 в момент времени t1 и заканчивается в положении x2 в момент времени t2, физическая траектория, соединяющая эти две конечные точки, является экстремумом интеграла действия.
- В частности, фиксация конечного состояния интерпретировалась как придание принципу действия телеологического характера, который исторически был противоречивым. :Однако, согласно W. Вашграу и С. Мандельштам, телеологический подход ... предполагает, что сами вариационные принципы обладают математическими характеристиками, которыми они де-факто не обладают[35]Кроме того, некоторые критики утверждают, что эта очевидная телеология возникает из-за способа, которым был задан вопрос. :Указывая некоторые, но не все аспекты как начальных, так и конечных условий (положения, но не скорости), мы делаем некоторые выводы о начальных условиях из конечных условий, и именно этот "обратный" вывод можно рассматривать как телеологическое объяснение. Телеологию также можно преодолеть, если рассматривать классическое описание как предельный случай квантового формализма интегрирования траекторий, в котором стационарные траектории получаются в результате интерференции амплитуд вдоль всех возможных траекторий.[1]
Рассказ "История твоей жизни" писателя-фантаста Теда Чианга содержит визуальные описания принципа Ферма наряду с обсуждением его телеологического измерения. В книге Кита Девлина "Математический инстинкт" есть глава "Элвис, вельш-корги, который умеет считать", в которой обсуждается математическое исчисление, "встроенное" в некоторых животных, когда они решают задачу "наименьшего времени" в реальных ситуациях.
Смотрите также[править]
Действие (физика) * Формулировка интеграла по траектории * Квантовый принцип действия Швингера *
Аналитическая механика * Вариационное исчисление * Гамильтонова механика * Лагранжева механика * Бритва Оккама