Проблемы Гильберта

Задачи Гильберта - это двадцать три задачи по математике, опубликованные немецким математиком Давидом Гильбертом в 1900 году. В то время все эти проблемы были неразрешимы, и некоторые из них оказали большое влияние на математику XX века. Гильберт представил десять из этих проблем (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21, и 22) на Парижской конференции Международного конгресса математиков, выступая 8 августа в Сорбонне. Полный список из 23 проблем был опубликован позже, в частности, в английском переводе в 1902 году Мэри Фрэнсис Уинстон Ньюсон в журнале the Вестник Американского математического общества.

Природа и влияние этих проблем

Проблемы Гильберта сильно варьировались по тематике и точности. Некоторые из них сформулированы достаточно точно, чтобы дать ясный утвердительный или отрицательный ответ, например, 3-я задача, которая была решена первой, или 8-я задача (гипотеза Римана). По другим проблемам, таким как 5-я, эксперты традиционно соглашались на единую интерпретацию, и решение принятой интерпретации было дано, но тесно связанные с ней нерешенные проблемы существуют. Иногда утверждения Гильберта были недостаточно точны, чтобы определить конкретную проблему, но достаточно наводили на размышления, так что некоторые проблемы более современного происхождения, по-видимому, применимы; например, большинство современных теоретиков чисел, вероятно, рассматривали бы 9-ю проблему как относящуюся к гипотетическому соответствию Ленглендса представлениям абсолютной группы Галуа числового поля.[еще другие проблемы, такие как 11-я и 16-я, касаются того, что сейчас процветает в математических дисциплинах, таких как теории квадратичных форм и реальных алгебраических кривых .

Есть две проблемы, которые не только не решены, но и могут быть фактически неразрешимы по современным стандартам. 6-я проблема касается аксиоматизации физики, цели, которую достижения физики двадцатого века (включая ее признание в качестве дисциплины, независимой от математики), по-видимому, делают более отдаленной и менее важной, чем во времена Гильберта. Кроме того, 4-я проблема касается основ геометрии, в том смысле, который в настоящее время обычно считается слишком расплывчатым, чтобы дать окончательный ответ.

Все остальные двадцать одна проблема получили значительное внимание, и в конце двадцатого века работа над этими проблемами все еще считалась самой важной. Пол Коэн получил медаль Филдса в 1966 году за свою работу над первой проблемой, а отрицательное решение десятой проблемы в 1970 году Юрием Матиясевичем (завершив работу Мартина Дэвиса, Хилари Патнэми Джулии Робинсон) вызвало аналогичное признание. Аспекты этих проблем и сегодня представляют большой интерес. Ignorabimus

Вслед за Готтлобом Фреге и Бертраном РасселомГильберт стремился определить математику логически , используя метод формальных систем, то есть финитистических доказательств из согласованного набора аксиом. одной из главных целей программы Гильберта было финитное доказательство непротиворечивости аксиом арифметики: это его вторая задача.[а]

Однако вторая теорема Геделя о неполноте дает точный смысл, в котором такое финитное доказательство непротиворечивости арифметики доказуемо невозможно. Гильберт жил в течение 12 лет после того, как Курт Гедель опубликовал свою теорему, но, похоже, не написал никакого официального ответа на работу Геделя.[b][c]

Десятая задача Гильберта не спрашивает, существует ли алгоритм для решения разрешимости диофантовых уравнений, а скорее просит построить такой алгоритм: "разработать процесс, в соответствии с которым можно определить в конечном числе операций, является ли уравнение разрешимым в рациональных целых числах."То, что эта проблема была решена, показав, что такого алгоритма не может быть, противоречило философии математики Гильберта.

Обсуждая свое мнение о том, что каждая математическая задача должна иметь решение, Гильберт допускает возможность того, что решение может быть доказательством того, что исходная задача невозможна.он утверждал, что дело в том, чтобы так или иначе знать, что такое решение, и он верил, что мы всегда можем это знать, что в математике нет никакого "ignorabimus" (утверждения, истинность которого никогда не может быть познана).[e] Кажется неясным, рассматривал ли бы он решение десятой задачи как пример ignorabimus: то, что доказано, что не существует, - это не целочисленное решение, а (в определенном смысле) способность определенным образом различать, существует ли решение.

С другой стороны, статус первой и второй задач еще более сложен: нет четкого математического консенсуса относительно того, дают ли результаты Геделя (в случае второй задачи) или Геделя и Коэна (в случае первой задачи) окончательные отрицательные решения или нет, поскольку эти решения применимы к определенной формализации задач, которая не обязательно является единственно возможной.[f]

24-я проблема

Основная статья: Двадцать четвертая проблема Гильберта

Первоначально Гильберт включил в свой список 24 задачи, но решил не включать одну из них в опубликованный список. "24-я проблема" (в теории доказательств, по критерию простоты и общим методам) была вновь открыта в оригинальных рукописных заметках Гильберта немецким историком Рюдигером Тиле в 2000 году.

Сиквелы

Начиная с 1900 года математики и математические организации объявили списки задач, но, за редким исключением, эти сборники не оказали почти такого же влияния и не произвели столько работы, как проблемы Гильберта.

Исключение составляют три гипотезы, сделанные Андре Вейлем в конце 1940-х годов ("гипотезы Вейля"). В области алгебраической геометрии , теории чисел и связей между ними гипотезы Вейля были очень важны . Первая из гипотез Вейля была доказана Бернардом Дворком, а совершенно иное доказательство первых двух гипотез с помощью ad-адических когомологий было дано Александром Гротендиком. Последняя и глубочайшая гипотеза Вейля (аналог гипотезы Римана) была доказана Пьером Делинем. И Гротендик, и Делинь были награждены медалью Филдса. Однако гипотезы Вейля по своему объему больше похожи на единую задачу Гильберта, и Вейль никогда не предполагал их в качестве программы для всей математики. Это несколько иронично, поскольку, возможно, Вейль был математиком 1940-1950-х годов, который лучше всего играл роль Гильберта, будучи знакомым почти со всеми областями (теоретической) математики и сыграв важную роль в развитии многих из них.

Пол Эрдеш поставил сотни, если не тысячи , математических задач, многие из которых были очень глубокими. Эрдеш часто предлагал денежное вознаграждение; размер вознаграждения зависел от предполагаемой сложности проблемы.

Конец тысячелетия, будучи также столетием объявления Гильбертом своих проблем, был естественным поводом предложить "новый набор проблем Гильберта."Несколько математиков приняли вызов, в частности, медалист Филдс Стив Смэйл, который ответил на просьбу Владимира Арнольда, предложив список из 18 задач. Проблемы смейла до сих пор не получили большого внимания со стороны средств массовой информации, и неясно, насколько серьезное внимание они получают от математического сообщества.

По крайней мере, в основных средствах массовой информации фактическим аналогом проблем Гильберта 21-го века является список из семи задач премии тысячелетия, выбранных в 2000 году Институтом математики Клэя. В отличие от задач Гильберта, где главной наградой было восхищение Гильберта в частности и математиков в целом, каждая призовая задача включает в себя награду в миллион долларов. Как и в случае с проблемами Гильберта, одна из призовых задач (гипотеза Пуанкаре) была решена относительно скоро после того, как эти задачи были объявлены.

Гипотеза Римана примечательна своим появлением в списке задач Гильберта, списке Смейла, списке задач премии тысячелетия и даже в гипотезах Вейля в их геометрическом обличье. Несмотря на некоторые известные недавние нападки со стороны крупных математиков нашего времени, многие эксперты полагают, что гипотеза Римана будет включена в списки задач на многие столетия. Сам Гильберт заявил: "Если бы я проснулся после того, как проспал тысячу лет, мой первый вопрос был бы: доказана ли гипотеза Римана?"

В 2008 году DARPA объявила свой собственный список из 23 проблем, которые, как она надеялась, могут привести к крупным математическим прорывам, "тем самым укрепив научно-технический потенциал Министерства обороны."

Резюме

Из чисто сформулированных задач Гильберта, проблемы 3, 7, 10, 14, 17, 18, 19, и 20 имеют резолюцию, которая принимается консенсусом математического сообщества. С другой стороны, проблемы 1, 2, 5, 6, 9, 11, 15, 21, и у 22 есть решения, которые имеют частичное признание, но существуют некоторые разногласия относительно того, разрешают ли они проблемы.

Это оставляет 8 (гипотеза Римана), 12, 13 и 16[g] неразрешенными, а 4 и 23 слишком расплывчатыми, чтобы когда-либо быть описанными как решенные. Изъятые 24 также будут относиться к этому классу. Число 6 откладывается как проблема в физике, а не в математике.

Таблица проблем

Двадцать три задачи Гильберта таковы (подробнее о решениях и ссылках см. подробные статьи, ссылки на которые приведены в первой колонке):

Проблема	Краткое объяснение	Статус	Год Решен
1-й	Гипотеза континуума (то есть не существует множества, мощность которого строго находится между мощностью целых чисел и мощностью действительных чисел)	Доказано, что невозможно доказать или опровергнуть в рамках теории множеств Цермело–Френкеля с аксиомой выбора или без нее (при условии , что теория множеств Цермело–Френкеля непротиворечива, т. е. не содержит противоречия). Нет единого мнения о том, является ли это решением проблемы.	1940, 1963
2-й	Докажите, что аксиомы арифметики непротиворечивы.	Нет единого мнения о том, дают ли результаты Геделя и Гентцена решение проблемы, как это было заявлено Гильбертом. Вторая теорема Геделя о неполноте, доказанная в 1931 году, показывает, что никакое доказательство ее непротиворечивости не может быть выполнено внутри самой арифметики. В 1936 году гентцен доказал, что непротиворечивость арифметики вытекает из обоснованности порядкового ε₀.	1931, 1936
3-е место	Учитывая любые два многогранника одинакового объема, всегда ли можно разрезать первый на конечное число многогранных кусочков, которые можно собрать заново, чтобы получить второй?	Решенный. Результат: нет, доказано с использованием инвариантов Дена.	1900
4-е место	Постройте все метрики, где линии являются геодезическими.	Слишком расплывчато, чтобы быть заявленным решенным или нет.[h]	—
5-й	Являются ли непрерывные группы автоматически дифференциальными группами?	Решение принято Эндрю Глисоном, предполагающим одну интерпретацию исходного утверждения. Однако если ее понимать как эквивалент гипотезы Гильберта-Смита, то она все еще остается нерешенной.	1953?
6-е число	Математическая обработка аксиом физики	(а) аксиоматическая обработка вероятности с предельными теоремами для основания статистической физики (б) строгая теория предельных процессов ", ведущих от атомистического взгляда к законам движения континуумов" Частично разрешается в зависимости от того, как интерпретируется исходное утверждение. пункты (а) и (Б) были двумя конкретными проблемами, указанными Гильбертом в более позднем объяснении. аксиоматика Колмогорова (1933) теперь принята за стандарт. Есть некоторый успех на пути от "атомистического взгляда" к законам движения континуумов."|| 1933–2002?
7-е число	Является ли ab трансцендентнымдля алгебраического a ≠ 0,1 и иррационального алгебраического b ?	Решенный. Результат: да, иллюстрируется теоремой Гельфонда или теоремой Гельфонда-Шнайдера.	1934
8-е число	Гипотеза Римана("действительная часть любого нетривиального нуля дзета-функции Римана равна½")и другие задачи о простых числах, в том числе гипотеза Гольдбаха и гипотеза о двойном простом числе	Неразрешенный.	—
9-е число	Найдите наиболее общий закон теоремы взаимности в любом алгебраическом числовом поле.	Частично разрешен.[я]	—
10-е число	Найдите алгоритм определения того, имеет ли данное полиномиальное Диофантовое уравнение с целочисленными коэффициентами целочисленное решение.	Решенный. Результат: невозможно; теорема Матиясевича подразумевает, что такого алгоритма не существует.	1970
11-е число	Решение квадратичных форм с алгебраическими числовыми коэффициентами.	Частично разрешен.	—
12-е число	Распространите теорему Кронекера-Вебера об Абелевых расширениях рациональных чисел на любое поле базовых чисел.	Неразрешенный.	—
13-е число	Решите уравнение 7-й степени, используя алгебраические (вариант: непрерывные) функции двух параметров.	Неразрешенный. Непрерывный вариант этой задачи был решен Владимиром Арнольдом в 1957 году на основе работы Андрея Колмогорова, но алгебраический вариант остается нерешенным.[j]	—
14-е число	Является ли кольцо инвариантов алгебраической группы, действующее на полиномиальное кольцо, всегда конечно порожденным?	Решенный. Результат: нет, контрпример был построен Масаеси Нагатой.	1959
15-е число	Строгое основание перечислительного исчисления Шуберта.	Частично разрешен.	—
16-е число	Опишите относительные положения овалов, происходящих из вещественной алгебраической кривой и являющихся предельными циклами полиномиального векторного поля на плоскости.	Неразрешенные, даже для алгебраических кривых степени 8.	—
17-е число	Выразите неотрицательную рациональную функцию как частное от суммы квадратов.	Решенный. Результат: да, благодаря Эмилю Артину. Кроме того, был установлен верхний предел необходимого числа квадратных членов.	1927
18-е число	а) существует ли многогранник, допускающий только анизоэдрическую черепицу в трех измерениях?b) какова самая плотная упаковка сферы?	а) решен. Результат: да (Автор Карл Рейнхардт).b) широко распространенное мнение о том, что она разрешена с помощью компьютерного доказательства (Томас Каллистер Хейлс). Результат: самая высокая плотность достигается за счет плотных упаковок, каждая из которых имеет плотность около 74%, таких как гранецентрированная кубическая плотная упаковка и гексагональная плотная упаковка.[k]	а) 1928(б)1998 год
19-е число	Являются ли решения регулярных задач в вариационном исчислении всегда обязательно аналитическими?	Решенный. Результат: да, доказано Эннио де Джорджи и, независимо и используя различные методы, Джоном Форбсом Нэшем.	1957
20-е число	Все ли вариационные задачи с определенными граничными условиями имеют решения?	Решенный. Значительная тема исследований на протяжении всего 20-го века, кульминацией которых стали решения для нелинейного случая.	?
21-е число	Доказательство существования линейных дифференциальных уравнений, имеющих заданную монодромную группу	Частично разрешен. Результат: Да/нет / открыто в зависимости от более точных формулировок задачи.	?
22-е число	Униформизация аналитических соотношений с помощью автоморфных функций	Частично разрешен. Теорема униформизации	?
23-е число	Дальнейшее развитие вариационного исчисления	Слишком расплывчато, чтобы быть заявленным решенным или нет.	—

См. также

• Проблемы Ландау

Дальнейшее чтение

• Gray, Jeremy J. (2000). Вызов Гильберта. Oxford, UK: Oxford University Press.

• Yandell, Benjamin H. (2002). Класс отличников: проблемы Гильберта и их решатели. Уэлсли, Массачусетс: А. К. Питерс.
• Thiele, Rüdiger (2005). "О Гильберте и его двадцати четырех задачах". In Van Brummelen, Glen (ed.). Математика и ремесло историка: лекции Кеннета О. Мэя. CMS Books in Mathematics / Ouvrages de Mathématiques de la SMC. 21. С.
• Dawson, John W. Jr. (1997). Логические дилеммы: жизнь и творчество Курта Геделя. А. К. Петерс.
• Огромное количество информации, относящейся к "программе" Гильберта и влиянию Геделяна второй вопрос, влияние Интуиционизма аренда Хейтингаи Бруверана философию Гильберта.
• Браудер, Феликс Э., изд. (1976). "Математические разработки, вытекающие из задач Гильберта". Труды симпозиумов по чистой математике XXVIII. Американское Математическое Общество.
• Сборник обзорных эссе экспертов, посвященных каждой из 23 проблем, акцентирующих внимание на текущих событиях.
• Матиясевич Юрий (1993). Десятая задача Гильберта. Cambridge, MA: MIT Press.

• Счет на уровне бакалавра математика, который завершил решение задачи.

Пруф

web.archive.org/web/20120205025851/http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~kersten/hilbert/rede.html

• .ams.org/journals/bull/2000-37-04/S0273-0979-00-00881-8/S0273-0979-00-00881-8.pdf