Сферический базис
"Сферический тензор" перенаправляет сюда. Понятие, связанное с операторами, см. В разделе тензорный оператор.
В чистой и прикладной математике, в частности квантовой механике и компьютерной графике и их приложениях, сферический базис является основой, используемой для выражения сферических тензоров. [определение необходимо] Сферический базис тесно связан с описанием углового момента в квантовой механике и сферических гармонических функций.
В то время как сферические полярные координаты представляют собой одну ортогональную систему координат для выражения векторов и тензоров с использованием полярных и азимутальных углов и радиального расстояния, сферический базис строится из стандартного базиса и использует комплексные числа.
В трех измерениях[править]
Вектор A в трехмерном евклидовом пространстве R 3 может быть выражен в знакомой декартовой системе координат в стандартном базисе e x, e y, e z и координатах A x, A y, A z:
A = A x e x + A y e y + A z e z (1)
или любая другая система координат с соответствующим базисным набором векторов. Исходя из этого, расширьте скаляры, чтобы позволить умножение на комплексные числа, так что теперь мы работаем в C 3 {\displaystyle \mathbb {C} ^{3}} \mathbb {C} ^{3}а не R 3
Определение базиса[править]
В сферических базисах, обозначаемых e+, e−, e 0, и связанных с ними координатах относительно этого базиса, обозначаемого A+, A−, A 0, вектор A равен:
A = A + e + + A − e − + A 0 e 0
(2)
где сферические базисные векторы могут быть определены в терминах декартова базиса с использованием комплекснозначных коэффициентов в плоскости xy:[1]
e + = − 1 2 e x − i 2 e y e − = + 1 2 e x − i 2 e y ⇌ e ± = ∓ 1 2 ( e x ± i e y )
(3А)
в котором i iобозначается мнимая единица, а одна нормаль к плоскости в направлении z:
e 0 = e z
Обратные соотношения:
e x = − 1 2 e + + 1 2 e − e y = + i 2 e + + i 2 e − e z = e 0
(3B)
Определение коммутатора[править]
Хотя предоставление базиса в трехмерном пространстве является допустимым определением для сферического тензора, оно охватывает только случай, когда ранг k {\displaystyle k} kравен 1. Для более высоких рангов можно использовать либо коммутатор, либо определение вращения сферического тензора. Определение коммутатора дано ниже, любой оператор T q ( k ) , удовлетворяющий следующим соотношениям, является сферическим тензором:
[ J ± , T q ( k ) ] = ℏ ( k ∓ q ) ( k ± q + 1 ) T q ± 1 ( k )
Определение вращения[править]
Аналогично тому, как сферические гармоники преобразуются при вращении, общий сферический тензор преобразуется следующим образом, когда состояния преобразуются под унитарной D-матрицей Вигнера D ( R ), где R - элемент группы (3 × 3 вращения) в SO (3). То есть эти матрицы представляют элементы группы вращения. С помощью его алгебры Ли можно показать, что эти два определения эквивалентны.
D ( R ) T q ( k ) D † ( R ) = ∑ q ′ = − k k T q ′ ( k ) D q ′ q ( k )
См. Также: D-матрица Вигнера
Координатные векторы[править]
Основная статья: Вектор координат
Для сферического базиса координаты являются комплекснозначными числами A+, A 0, A− и могут быть найдены путем подстановки (3B) в (1) или непосредственно вычислены из внутреннего произведения ⟨, ⟩ (5):
A + = ⟨ A , e + ⟩ = − A x 2 + i A y 2 A − = ⟨ A , e − ⟩ = + A x 2 + i A y 2 ⇌ A ± = ⟨ e ± , A ⟩ = 1 2 ( ∓ A x + i A y ) (4А)
A 0 = ⟨ e 0 , A ⟩ = ⟨ e z , A ⟩ = A z
с обратными соотношениями:
A x = − 1 2 A + + 1 2 A − A y = − i 2 A + − i 2 A − A z = A 0
(4B)
В общем случае для двух векторов с комплексными коэффициентами в одном вещественном ортонормированном базисе e i со свойством e i·e j = δ ij внутреннее произведение равно:
⟨ a , b ⟩ = a ⋅ b ⋆ = ∑ j a j b j ⋆
(5)
где · - обычное точечное произведение, а комплексное сопряжение * должно использоваться для того, чтобы величина (или "норма") вектора оставалась положительно определенной.
Свойства (три измерения)[править]
Ортонормальность[править]
Сферический базис является ортонормированным базисом, так как внутреннее произведение ⟨, ⟩ (5) каждой пары обращается в нуль, что означает, что все базисные векторы взаимно ортогональны:
⟨ e + , e − ⟩ = ⟨ e − , e 0 ⟩ = ⟨ e 0 , e + ⟩ = 0
и каждый базисный вектор является единичным вектором:
⟨ e + , e + ⟩ = ⟨ e − , e − ⟩ = ⟨ e 0 , e 0 ⟩ = 1
отсюда необходимость нормирующих коэффициентов 1 / 2 {\displaystyle 1/\!{\sqrt {2}}} {\displaystyle 1/\!{\sqrt {2}}}.
Изменение базисной матрицы[править]
См. также: Изменение базиса
Определяющие соотношения (3А) можно обобщить матрицей преобразований U:
( e + e − e 0 ) = U ( e x e y e z ) , U = ( − 1 2 − i 2 0 + 1 2 − i 2 0 0 0 1 ) ,
с обратным:
( e x e y e z ) = U − 1 ( e + e − e 0 ) , U − 1 = ( − 1 2 + 1 2 0 + i 2 + i 2 0 0 0 1 ) .
Видно, что U − унитарная матрица, другими словами, ее эрмитово сопряженное U† (комплексное сопряженное и матричное транспонирование) также является обратной матрицей U-1.
Для координат:
( A + A − A 0 ) = U ∗ ( A x A y A z ) , U ∗ = ( − 1 2 + i 2 0 + 1 2 + i 2 0 0 0 1 ) ,
и наоборот:
( A x A y A z ) = ( U ∗ ) − 1 ( A + A − A 0 ) , ( U ∗ ) − 1 = ( − 1 2 + 1 2 0 − i 2 − i 2 0 0 0 1 ) .
Перекрестные продукты[править]
Принимая поперечные произведения сферических базисных векторов, мы находим очевидное соотношение:
e q × e q = 0
где q - заполнитель для +, −, 0 и двух менее очевидных соотношений:
e ± × e ∓ = ± i e 0
e ± × e 0 = ± i e ±
Внутреннее произведение в сферической основе[править]
Внутреннее произведение между двумя векторами A и B в сферическом базисе следует из приведенного выше определения внутреннего произведения:
⟨ A , B ⟩ = A + B + ⋆ + A − B − ⋆ + A 0 B 0 ⋆