Центр тяжести
В физике центр масс распределения массы в пространстве (иногда называемый точкой равновесия) - это единственная точка, в которой взвешенное относительное положение распределенной массы сводится к нулю. Это точка, к которой может быть приложена сила, вызывающая линейное ускорение без углового. Расчеты в механике они часто упрощаются, когда формулируются относительно центра масс. Это гипотетическая точка, в которой вся масса объекта может быть сосредоточена для визуализации его движения. Другими словами, центр масс-это частичный эквивалент данного объекта для применения законов движения Ньютона.
В случае одиночного твердого телацентр масс неподвижен относительно тела, и если тело имеет равномерную плотность, то оно будет расположено на центроиде. Центр масс может быть расположен вне физического тела, как это иногда бывает для полых или открытых объектов, таких как подкова. В случае распределения отдельных тел, таких как планеты Солнечной системы, центр масс может не соответствовать положению какого-либо отдельного элемента системы.
Центр масс является полезной точкой отсчета для расчетов в механике, которые включают массы, распределенные в пространстве, такие как линейный и угловой момент планетарных тел и динамика твердого тела. В орбитальной механикеуравнения движения планет формулируются как точечные массы , расположенные в центрах масс. Система координат центра масс-это инерциальная система координат, в которой центр масс системы находится в состоянии покоя относительно начала координат системы координат.
История[править]
Понятие "центр масс" в форме центра тяжести впервые ввел древнегреческий физик, математик и инженер Архимед Сиракузский. Он работал с упрощенными предположениями о гравитации, которые сводятся к однородному полю, и таким образом пришел к математическим свойствам того, что мы теперь называем центром масс. Архимед показал, что крутящий момент прилагается к рычагу по весам, покоящимся в различных точках вдоль рычага, происходит то же самое, что было бы, если бы все веса были перемещены в одну точку—их центр масс. В работе над плавающими телами он продемонстрировал, что ориентация плавающего объекта-это та, которая делает его центр масс как можно более низким. Он разработал математические методы для нахождения центров масс объектов однородной плотности различной четко определенной формы.
Более поздние математики, которые разработали теорию центра масс, включают Паппуса Александрийского, Гвидо Убальди, Франческо Мауролико, Федерико Коммандино, Симона Стевина, Луку Валерио, Жана-Шарля де ла фай, поля гульдена, Джона Уоллиса, Луи Карре , Пьера Вариньона и Алексиса Клераута.
Второй закон Ньютона переформулирован относительно центра масс в первом законе Эйлера.]
Определение[править]
Центр масс-это единственная точка в центре распределения массы в пространстве, обладающая тем свойством, что взвешенные векторы положения относительно этой точки суммируются до нуля. По аналогии со статистикой, центр масс-это среднее положение распределения массы в пространстве.
Система частиц[править]
В случае системы частиц Pi, i = 1, ..., n , каждая из которых имеет массу mi, расположенных в пространстве с координатами ri, i = 1, ..., n , координаты R центра масс удовлетворяют условию
- ∑ i = 1 n m i ( r i − R ) = 0 .
Решение этого уравнения для R дает формулу
- R = 1 M ∑ i = 1 n m i r i ,
где M = ∑ i = 1 n m i -общая масса всех частиц.
Непрерывный том[править]
Если распределение массы непрерывно с плотностью ρ(r) внутри твердого тела Q, то Интеграл взвешенных координат положения точек в этом объеме относительно центра масс R над объемом V равен нулю, то есть
- ∭ Q ρ ( r ) ( r − R ) d V = 0.
Решите это уравнение для координат R, чтобы получить
- R = 1 M ∭ Q ρ ( r ) r d V ,
где M - полная масса в объеме.
Если непрерывное распределение массы имеет равномерную плотность, что означает, что ρ постоянно, то центр масс совпадает с центроидом объема.
Барицентрические координаты[править]
Дополнительная информация: Барицентрическая система координат
Координаты R центра масс двухчастичной системы P1 и P2 с массамиM1 и M2 задаются формулой
- R = 1 m 1 + m 2 ( m 1 r 1 + m 2 r 2 ) . .
Пусть процент общей массы , разделенной между этими двумя частицами, изменяется от 100% P1 и 0% P2 через 50% P1 и 50% P2 до 0% P1 и 100% P2, тогда центр масс R перемещается вдоль линии от P1 до P2. Проценты массы в каждой точке можно рассматривать как проективные координаты точки R на этой прямой и называются барицентрическими координатами. Другой способ интерпретации этого процесса здесь-механическое уравновешивание моментов вокруг произвольной точки. Числитель дает полный момент, который затем уравновешивается эквивалентной полной силой в центре масс. Это можно обобщить на три точки и четыре точки, чтобы определить проективные координаты в плоскости и в пространстве соответственно.
Системы с периодическими граничными условиями[править]
Для частиц в системе с периодическими граничными условиями две частицы могут быть соседями, даже если они находятся на противоположных сторонах системы. Это часто происходит при моделировании молекулярной динамики, например, когда кластеры формируются в случайных местах и иногда соседние атомы пересекают периодическую границу. Когда кластер пересекает периодическую границу, наивный расчет центра масс будет неверным. Обобщенный метод вычисления центра масс для периодических систем состоит в том, чтобы рассматривать каждую координату , x, y и/или z, как если бы она была на окружности, а не на прямой.[10] Расчет берет координату x каждой частицы и отображает ее на угол,
- θ i = x i x m a x 2 π
где xmax-размер системы в направлении x и x i ∈ [ 0 , x m a x ) . Из этого угла ( ξ i , ζ i ) )могут быть сформированы две новые точки, которые могут быть взвешены массой частицы x i }для центра масс или заданы значением 1 для геометрического центра:
- ξ i = cos ( θ i )
- ζ i = sin ( θ i )
В ( ξ , ζ ) zeta )плоскости эти координаты лежат на окружности радиуса 1. из совокупности ξ i }значений всех частиц вычисляются средние ξ ¯ }значения и.
- ξ ¯ = 1 M ∑ i = 1 n m i ξ i ,
- ζ ¯ = 1 M ∑ i = 1 n m i ζ i ,
где M-сумма масс всех частиц.
Эти значения отображаются обратно в новый угол θ ¯ }, из которого можно получить координату x центра масс:
- θ ¯ = a t a n 2 ( − ζ ¯ , − ξ ¯ ) + π
- x c o m = x m a x θ ¯ 2 π
Этот процесс можно повторить для всех размеров системы, чтобы определить полный центр масс. Полезность алгоритма заключается в том, что он позволяет математикам определить, где находится "лучший" центр масс, вместо того чтобы угадывать или использовать кластерный анализ для "развертывания" кластера, охватывающего периодические границы. Если оба средних значения равны нулю ( ξ ¯ , ζ ¯ ) = ( 0 , 0 ) ), то θ ¯ }оно не определено. Это правильный результат, потому что он имеет место только тогда, когда все частицы точно равномерно расположены. В этом случае их координаты x математически идентичны в периодической системе.
Центр тяжести[править]
"Центр тяжести" перенаправляется сюда. Для других целей см. раздел Центр тяжести (устранение неоднозначности). Основная статья: Центры тяжести в неоднородных полях
Центр тяжести тела - это точка, вокруг которой вращается результирующий момент из-за гравитационных сил исчезает. Там, где гравитационное поле можно считать однородным, центр масс и центр тяжести будут одинаковыми. Однако для спутников, находящихся на орбите вокруг планеты, в отсутствие других вращающих моментов, приложенных к спутнику, небольшое изменение (градиент) гравитационного поля между более близким (сильным) и более далеким (слабым) планетой может привести к вращающему моменту, который будет стремиться выровнять спутник таким образом, чтобы его длинная ось была вертикальной. В этом случае важно провести различие между центром тяжести и центром масс. Любое горизонтальное смещение между ними приведет к приложенному крутящему моменту.
Полезно отметить, что центр масс является фиксированным свойством для данного твердого тела (например, без скольжения или сочленения), тогда как центр тяжести может, кроме того, зависеть от его ориентации в неоднородном гравитационном поле. В последнем случае центр тяжести всегда будет располагаться несколько ближе к основному притягивающему телу по сравнению с центром масс и, таким образом, будет менять свое положение в интересующем теле по мере изменения его ориентации.
При исследовании динамики летательных аппаратов, транспортных средств и судов силы и моменты необходимо решать относительно центра масс. Это верно независимо от того, рассматривается ли сама гравитация. Обращение к центру масс как к центру тяжести является чем-то вроде разговорного выражения, но оно широко используется, и когда эффекты градиента гравитации пренебрежимо малы, центр тяжести и центр массы являются одним и тем же и используются взаимозаменяемо.
В физике преимущества использования центра масс для моделирования распределения масс можно увидеть, рассматривая равнодействующую сил гравитации на непрерывном теле. Рассмотрим тело Q объема V с плотностью ρ(r) в каждой точке r объема. В параллельном гравитационном поле сила f в каждой точке r задается формулой,
- f ( r ) = − d m g k → = − ρ ( r ) d V g k → ,
где dm-масса в точке r, g - ускорение силы тяжести, а k-единичный вектор, определяющий вертикальное направление. Выберите опорную точку R в объеме и вычислите результирующую силу и крутящий момент в этой точке,
- F = ∭ Q f ( r ) d V = ∭ Q ρ ( r ) d V ( − g k → ) = − M g k → ,
и
- T = ∭ Q ( r − R ) × f ( r ) d V = ∭ Q ( r − R ) × ( − g ρ ( r ) d V k → ) = ( ∭ Q ρ ( r ) ( r − R ) d V ) × ( − g k → ) .
Если точка отсчета R выбрана так, что она является центром масс, то
- ∭ Q ρ ( r ) ( r − R ) d V = 0 ,
что означает результирующий крутящий момент T=0. Поскольку результирующий крутящий момент равен нулю, тело будет двигаться так, как если бы оно было частицей, масса которой сосредоточена в центре масс.
При выборе центра тяжести в качестве точки отсчета для твердого тела силы тяжести не будут заставлять тело вращаться, а это означает, что вес тела можно считать сосредоточенным в центре масс.
Линейный и угловой момент[править]
Линейный и угловой момент набора частиц может быть упрощен путем измерения положения и скорости частиц относительно центра масс. Пусть система частиц Pi, i=1,...,n масс mi расположена в координатах ri со скоростями vi. Выберите опорную точку R и вычислите относительные векторы положения и скорости,
- r i = ( r i − R ) + R , v i = d d t ( r i − R ) + v . .
Суммарный линейный импульс и угловой момент системы равны
- p = d d t ( ∑ i = 1 n m i ( r i − R ) ) + ( ∑ i = 1 n m i ) v , ,
и
- L = ∑ i = 1 n m i ( r i − R ) × d d t ( r i − R ) + ( ∑ i = 1 n m i ) [ R × d d t ( r i − R ) + ( r i − R ) × v ] + ( ∑ i = 1 n m i ) R × v
Если в качестве центра масс выбран R, то эти уравнения упрощаются до
- p = m v , L = ∑ i = 1 n m i ( r i − R ) × d d t ( r i − R ) + ∑ i = 1 n m i R × v
где m - полная масса всех частиц, p-линейный импульс, а L-угловой момент.
Закон сохранения импульса предсказывает, что для любой системы, не подверженной воздействию внешних сил, импульс системы будет оставаться постоянным, а это означает, что центр масс будет двигаться с постоянной скоростью. Это относится ко всем системам с классическими внутренними силами, включая магнитные поля, электрические поля, химические реакции и т. д. Более формально это справедливо для любых внутренних сил, которые отменяются в соответствии с третьим законом Ньютона.]
Определение местоположения центра масс[править]
Основная статья: Определение местоположения центра масс
Экспериментальное определение центра масс тела использует гравитационные силы на теле и опирается на то, что в параллельном гравитационном поле вблизи поверхности Земли центр масс совпадает с центром тяжести.
Центр масс тела с осью симметрии и постоянной плотностью должен лежать на этой оси. Таким образом, центр масс круглого цилиндра постоянной плотности имеет свой центр масс на оси цилиндра. Точно так же центр масс сферически симметричного тела постоянной плотности находится в центре сферы. В общем случае для любой симметрии тела его центр масс будет неподвижной точкой этой симметрии.
В двух измерениях[править]
Экспериментальный метод определения местоположения центра масс заключается в подвешивании объекта в двух местах и отбрасывании отвесов из точек подвеса. Пересечение этих двух линий является центром масс.
Форма объекта может быть уже определена математически, но она может быть слишком сложной, чтобы использовать известную формулу. В этом случае можно разделить сложную форму на более простые, более элементарные формы, центры масс которых легко найти. Если общая масса и центр масс могут быть определены для каждой области, то центр масс целого является средневзвешенным значением центров. этот метод может работать даже для объектов с отверстиями, которые могут быть учтены как отрицательные массы.
Прямое развитие планиметра, известного как Интеграл, или целерометр, может быть использовано для определения положения центроида или центра масс неправильной двумерной формы. Этот метод может быть применен к форме с нерегулярной, гладкой или сложной границей, где другие методы слишком сложны. Он регулярно использовался судостроителями для сравнения с требуемым водоизмещением и центром плавучести судна и обеспечения того, чтобы оно не опрокидывалось.
В трех измерениях[править]
Экспериментальный метод определения трехмерных координат центра масс начинается с поддержки объекта в трех точках и измерения сил F1, F2и F3, которые сопротивляются весу объекта W = − W k ^ это единичный вектор в вертикальном направлении). Пусть r1, r2и r3 - координаты положения опорных точек, тогда координаты R центра масс удовлетворяют условию, что результирующий крутящий момент равен нулю,
- T = ( r 1 − R ) × F 1 + ( r 2 − R ) × F 2 + ( r 3 − R ) × F 3 = 0 ,
или
- R × ( − W k ^ ) = r 1 × F 1 + r 2 × F 2 + r 3 × F 3 .
Это уравнение дает координаты центра масс R* в горизонтальной плоскости в виде,
- R ∗ = − 1 W k ^ × ( r 1 × F 1 + r 2 × F 2 + r 3 × F 3 ) .
Центр масс лежит на вертикальной линии L, заданной формулой
- L ( t ) = R ∗ + t k ^ .
Трехмерные координаты центра масс определяются путем выполнения этого эксперимента дважды с объектом, расположенным таким образом, что эти силы измеряются для двух различных горизонтальных плоскостей через объект. Центром масс будет пересечение двух прямыхL1 иL2, полученных в результате двух экспериментов.
Приложения[править]
Инженерные проекты[править]
Автомобильные приложения[править]
Инженеры стараются спроектировать спортивный автомобиль так, чтобы его центр масс был опущен, чтобы сделать автомобиль лучше управляемым, то есть поддерживать тягу при выполнении относительно резких поворотов.
Характерный низкий профиль американского военного Хамви был разработан отчасти для того, чтобы позволить ему наклоняться дальше , чем более высокие транспортные средства, без опрокидывания, потому что его низкий центр масс оставался бы над пространством, ограниченным четырьмя колесами, даже под углами, далекими от горизонтали.
Аэронавтика[править]
Основная статья: Центр тяжести летательного аппарата
Центр масс-это важная точка на летательномаппарате , которая существенно влияет на устойчивость самолета. Чтобы самолет был достаточно устойчивым, чтобы безопасно летать, центр масс должен находиться в заданных пределах. Если центр масс находится впереди переднего предела, самолет будет менее маневренен, возможно, до такой степени, что не сможет вращаться для взлета или вспыхивать для посадки.Если центр масс находится за кормовой границей, самолет будет более маневренным, но также менее устойчивым и, возможно, достаточно неустойчивым, чтобы быть невозможным для полета. Мгновенный рычаг лифт также будет уменьшен, что затруднит его восстановление из застопорившегося состояния.
Для вертолетов в режиме висенияцентр масс всегда находится непосредственно под головкой винта. В прямом полете центр масс будет двигаться вперед, чтобы уравновесить отрицательный момент тангажа, создаваемый применением циклического управления для продвижения вертолета вперед; следовательно, крейсерский вертолет летит "носом вниз" в горизонтальном полете.
Астрономия[править]
Основная статья: Барицентр
Центр масс играет важную роль в астрономии и астрофизике, где его обычно называют барицентром. Барицентр-это точка между двумя объектами, где они уравновешивают друг друга; это центр масс, где два или более небесных тел вращаются друг вокруг друга. Когда Луна вращается вокруг планетыили планета вращается вокруг звезды, оба тела фактически вращаются вокруг точки, лежащей далеко от центра основного (большего) тела. например, Луна не вращается вокруг точного центра Земли, но точка на линии между центром земли и Луной, приблизительно 1710 км (1062 мили) ниже поверхности земли, где их соответствующие массы уравновешиваются. Это точка, вокруг которой вращаются Земля и Луна, когда они движутся вокруг Солнца. Если массы более похожи, например, Плутон и Харон, то барицентр будет падать вне обоих тел.
Такелаж и безопасность[править]
Зная расположение центра тяжести при такелаже имеет решающее значение, что может привести к серьезным травмам или смерти, если предположить это неправильно. Центр тяжести, который находится в точке подъема или выше нее, скорее всего, приведет к опрокидыванию. В общем, чем дальше центр тяжести ниже точки выбора, тем безопаснее подъем. Есть и другие вещи, которые следует учитывать, такие как смещение нагрузки, сила нагрузки и масса, расстояние между точками выбора и количество точек выбора. В частности, при выборе точек подъема очень важно разместить центр тяжести в центре и значительно ниже точек подъема.
Движение тела[править]
Основная статья: Кинезиология
В кинезиологии и биомеханике центр масс является важным параметром, который помогает людям понять их человеческую локомоцию. Как правило, человеческая центра масс определяется одним из двух методов: реакция борту метод статического анализа, что предполагает человек, лежа на этом инструменте, и использовать их статического равновесия уравнение, чтобы найти свой центр масс; сегментации метод опирается на математическое решение основывается на физическом принципе , что суммирование в моменты отдельных тела участков, относительно указанной оси, должен равняться крутящему моменту всей системы, составляющей тело, измеренному относительно одной и той же оси.
См. также[править]
- Барицентр
- Плавучесть
- Центр масс (релятивистский)
- Центр перкуссии
- Центр давления (Механика жидкости)
- Центр давления (наземная локомоция)
- Центроид
- Центр окружности массы
- Ожидаемое значение
- Геометрия точки массы
- Метацентрическая высота
- Центр крена
- Распределение веса
- Цтешник
Пруф[править]
.physicsdemos.juliantrubin.com/physics_videos/center_of_gravity.html