Энтропия (стрела времени)
Энтропия - одна из немногих величин в физике, которая требует определенного направления для времени, иногда называемого стрелой времени. Второй закон термодинамики гласит, что при движении "вперед" во времени энтропия изолированной системы может увеличиваться, но не уменьшаться. Таким образом, измерение энтропии-это способ отличить прошлое от будущего. В термодинамических системах, которые не являются замкнутыми, энтропия может уменьшаться со временем, например в живых системах где локальная энтропия уменьшается за счет увеличения окружающей среды (что приводит к чистому увеличению энтропии), образования типичных кристаллов, работы холодильника и внутри живых организмов.
Подобно температуре, несмотря на то, что она является абстрактным понятием, каждый человек интуитивно ощущает влияние энтропии. Например, часто очень легко определить разницу между видео, воспроизводимым вперед или назад. Видео может изображать пожар в лесу, который плавит соседнюю ледяную глыбу, воспроизводя его в обратном порядке, он покажет, что лужа воды превратила облако дыма в несгоревшее дерево и замерзла в процессе. Удивительно, но в любом случае подавляющее большинство законов физики не нарушается этими процессами, заметным исключением является второй закон термодинамики. Когда закон физики применяется в равной степени, когда время обращено вспять, говорят, что он показывает Т-симметрию; в этом случае энтропия-это то, что позволяет решить, воспроизводится ли видео, описанное выше, вперед или назад, поскольку интуитивно мы определяем, что только при воспроизведении вперед энтропия сцены увеличивается. Из-за второго закона термодинамики энтропия препятствует макроскопическим процессам, проявляющим Т-симметрию.
При изучении в микроскопическом масштабе вышеуказанные суждения не могут быть сделаны. Наблюдая за одной частицей дыма, бьющейся в воздухе, было бы неясно, воспроизводится ли видео вперед или назад, и, фактически, это было бы невозможно, поскольку законы, которые применяются, показывают Т-симметрию, поскольку она дрейфует влево или вправо качественно, она выглядит не иначе. Это происходит только тогда, когда вы изучаете этот газ в макроскопическом масштабе что эффекты энтропии становятся заметными. В среднем можно было бы ожидать, что частицы дыма вокруг зажженной спички будут отдаляться друг от друга, рассеиваясь по всему доступному пространству. Это было бы астрономически невероятным событием для всех частиц, чтобы сгруппироваться вместе, но вы не можете прокомментировать движение какой-либо одной частицы дыма.
Напротив, некоторые субатомные взаимодействия, включающие слабое ядерное взаимодействие, нарушают сохранение четности, но лишь очень редко. согласнотеореме CPT, это означает , что они также должны быть необратимы во времени, и таким образом установить стрелку времени. Это, однако, не связано ни с термодинамической стрелкой времени, ни с повседневным опытом необратимости времени.
Обзор[править]
Второй закон термодинамики позволяет энтропии оставаться неизменной независимо от направления времени. Если энтропия постоянна в любом направлении времени, то предпочтительного направления не существует. Однако энтропия может быть постоянной только в том случае, если система находится в максимально возможном состоянии беспорядка, как, например, газ, который всегда был и всегда будет равномерно распределен в своем контейнере. Существование термодинамической стрелы времени подразумевает, что система высоко упорядочена только в одном временном направлении, которое по определению было бы "прошлым". Таким образом, этот закон о граничные условия, а не уравнения движения.
Второй закон термодинамики носит статистический характер, и поэтому его надежность обусловлена огромным числом частиц, присутствующих в макроскопических системах. В принципе нет ничего невозможного в том, чтобы все 6 × 1023 атома в моле газа самопроизвольно мигрировали в одну половину контейнера; это просто фантастически маловероятно—настолько маловероятно, что никакого макроскопического нарушения второго закона никогда не наблюдалось. Т Симметрия это симметрия физических законов при обратном преобразовании времени. Хотя в ограниченных контекстах можно обнаружить эту симметрию, сама наблюдаемая Вселенная не проявляет симметрии при обращении времени вспять, главным образом из-за второго закона термодинамики.
Термодинамическая стрела часто связана с космологической стрелой времени, потому что в конечном счете речь идет о граничных условиях ранней Вселенной. Согласно теории Большого Взрыва, Вселенная изначально была очень горячей с равномерно распределенной энергией. Для системы, в которой гравитация важна, такой как Вселенная, это низкоэнтропийное состояние (по сравнению с высокоэнтропийным состоянием, когда вся материя коллапсирует в черные дыры, состояние, до которого система может в конечном счете эволюционировать). По мере роста Вселенной ее температура падает, что оставляет меньше энергии [на единицу объема пространства], доступной для выполнения работы в будущем, чем было доступно в прошлом. Кроме того, возмущения в плотности энергии растут (в конечном итоге образуя галактики и звезды). Таким образом, сама Вселенная имеет четко определенную термодинамическую стрелку времени. Но это не решает вопроса о том, почему первоначальное состояние Вселенной было низкоэнтропийным. Если бы космическое расширение остановилось и обратилось вспять из-за гравитации, температура Вселенной снова стала бы более горячей, но ее энтропия также продолжала бы увеличиваться из-за продолжающегося роста возмущений и возможного образования черной дыры, до последних стадий большого хруста, когда энтропия была бы ниже, чем сейчас.
Пример кажущейся необратимости[править]
Рассмотрим ситуацию, в которой большая емкость заполнена двумя разделенными жидкостями, например красителем с одной стороны и водой с другой. При отсутствии барьера между двумя жидкостями, случайное столкновение их молекул приведет к тому, что они будут становиться все более смешанными с течением времени. Однако, если краситель и вода смешаны, то никто не ожидает, что они снова отделятся, когда будут предоставлены самим себе. Фильм о смешивании будет казаться реалистичным, когда его играют вперед, но нереалистичным, когда его играют назад.
Если большая емкость наблюдается на ранней стадии процесса смешивания, она может быть обнаружена только частично смешанной. Было бы разумно заключить, что без вмешательства извне жидкость достигла этого состояния, потому что она была более упорядоченной в прошлом, когда было больше разделения, и будет более неупорядоченной или смешанной в будущем.
Теперь представьте, что эксперимент повторяется, на этот раз с несколькими молекулами, возможно, десятью, в очень маленьком контейнере. Можно легко представить себе, что, наблюдая за случайным перемещением молекул, можно было бы — только по чистой случайности — обнаружить, что молекулы стали четко разделенными, причем все молекулы красителя находились с одной стороны, а все молекулы воды-с другой. То, что это может происходить время от времени, можно заключить из теоремы флуктуации таким образом, для молекул нет ничего невозможного в том, чтобы разделиться. Однако для большого числа молекул это настолько маловероятно, что нам пришлось бы ждать, в среднем, во много раз дольше, чем возраст Вселенной, чтобы это произошло. Таким образом, фильм, который показал бы большое количество молекул, разделяющихся, как описано выше, казался бы нереалистичным, и можно было бы сказать, что фильм воспроизводится в обратном порядке. Смотрите на второй закон Больцмана как на закон беспорядка.
Математика стрелки[править]
Математика, лежащая в основе стрелы времени, энтропиии второго закона термодинамики, вытекает из следующего положения, подробно изложенного Карно (1824), Клапейроном( 1832) и Клаузиусом (1854):
Здесь, как общий опыт показывает, когда горячее тело Т1, таких как печи, помещается в физический контакт, например, будучи подключенным через тело жидкости (рабочего тела), с холодного тела Т2, такие как поток холодной воды, энергии будет неизменно потока от горячего к холодному в форме теплоты Q и, и дали время система достигнет равновесия. Энтропия, определяемая как Q / T, была задумана Рудольфом Клаузиусом как функция для измерения молекулярной необратимости этого процесса, то есть диссипативной работы атомов и молекул друг на друга во время трансформации.
На этой диаграмме можно рассчитать изменение энтропии ΔS для прохождения количества теплоты Q от температуры T1через "рабочее тело" жидкости (см. тепловой двигатель), которое обычно представляло собой тело пара, до температуры T2. Более того, можно было бы предположить, что рабочий орган содержит только две молекулы воды.
Далее, если мы выполним задание, как это первоначально сделал Клаузиус:
S = Q T
Тогда изменение энтропии или "эквивалентность-значение" для этого преобразования будет:
Δ S = S f i n a l − S i n i t i a l
что равносильно:
Δ S = ( Q T 2 − Q T 1 )
и, разложив Q, мы имеем следующую форму, как это было выведено Клаузиусом:
Δ S = Q ( 1 T 2 − 1 T 1 ) )
Так, например, если Q равнялось 50 единицам, T1-первоначально 100 градусам, а T2-первоначально 1 градусу, то изменение энтропии для этого процесса составило бы 49,5. Следовательно, энтропия увеличилась для этого процесса, процесс занял определенное количество "времени", и можно соотнести увеличение энтропии с течением времени. Для этой конфигурации системы, впоследствии, это "абсолютное правило". Это правило основано на том, что все природные процессы необратимы в силу того, что молекулы системы, например две молекулы в резервуаре, не только выполняют внешнюю работу (например, толкают поршень), но и выполняют внутреннюю работу друг над другом, пропорционально теплу, используемому для выполнения работы (см.: механический эквивалент теплоты) во время процесса. Энтропия объясняет тот факт, что существует внутреннее межмолекулярное трение.
Корреляции[править]
Важное различие между прошлым и будущим состоит в том, что в любой системе (например, в Газе частиц) ее начальные условия обычно таковы, что ее различные части некоррелированы, но по мере развития системы и взаимодействия ее различных частей друг с другом они становятся коррелированными.[3] например, всякий раз, когда речь идет о газе частиц, всегда предполагается, что его начальные условия таковы, что нет никакой корреляции между состояниями различных частиц (т. е. скорости и местоположения различных частиц совершенно случайны, вплоть до необходимости соответствовать макросостояние системы). Это тесно связано со вторым законом термодинамики.
Возьмем для примера (эксперимент а) закрытый ящик, который вначале наполовину заполнен идеальным газом. С течением времени газ, очевидно, расширяется, чтобы заполнить всю коробку, так что конечное состояние-это коробка, полная газа. Это необратимый процесс, так как если коробка заполнена в начале (эксперимент Б), то она не становится только наполовину заполненной позже, за исключением очень маловероятной ситуации, когда частицы газа имеют очень особые места и скорости. Но это происходит именно потому, что мы всегда предполагаем, что начальные условия таковы, что частицы имеют случайные местоположения и скорости. Это неверно для конечных условий системы, так как частицы взаимодействовали между собой, так что их положения и скорости стали зависимыми друг от друга, т. е. коррелированными. Это можно понять, если мы посмотрим на эксперимент а назад во времени, который мы будем называть экспериментом с: теперь мы начинаем с коробки, полной газа, но частицы не имеют случайных местоположений и скоростей; скорее, их расположение и скорость настолько специфичны, что через некоторое время все они перемещаются в одну половину коробки, которая является конечным состоянием системы (это начальное состояние эксперимента а, потому что теперь мы смотрим на тот же эксперимент назад!). Взаимодействия между частицами теперь не создают корреляций между частицами, а фактически превращают их в (по крайней мере, кажущиеся) случайные, "отменяющие" ранее существовавшие корреляции. Единственное различие между экспериментом С (который не подчиняется второму закону термодинамики) и экспериментом в (который подчиняется второму закону термодинамики) состоит в том, что в первом случае частицы некоррелированы в конце, а во втором-в начале.
Фактически, если все микроскопические физические процессы обратимы (см. обсуждение ниже), то второй закон термодинамики может быть доказан для любой изолированной системы частиц с начальными условиями, в которых состояния частиц некоррелированы. Для этого необходимо признать разницу между измеренной энтропией системы, которая зависит только от ее макрогосударства (объема, температуры и т. д.)- и его информационная энтропия, которая представляет собой количество информации (количество компьютерных битов), необходимое для описания точного микрогосударства системы. Измеренная энтропия не зависит от корреляций между частицами в системе, потому что они не влияют на ее макросостояние, но информационная энтропия зависит от них, потому что корреляции уменьшают случайность системы и, следовательно, уменьшают количество информации, необходимой для ее описания.Поэтому при отсутствии таких корреляций две энтропии идентичны, но в остальном информационная энтропия меньше измеренной энтропии, и разность может быть использована в качестве меры количества корреляций.
Теперь, согласно теореме Лиувилля, обращение во времени всех микроскопических процессов подразумевает, что количество информации, необходимое для точного описания микросистемы изолированной системы (ее информационно-теоретической совместной энтропии), постоянно во времени. Эта совместная энтропия равна предельной энтропии (энтропия, предполагающая отсутствие корреляций) плюс энтропия корреляции (взаимная энтропия или ее отрицательная взаимная информация). Если исходно предположить отсутствие корреляций между частицами, то эта совместная энтропия есть просто предельная энтропия, которая есть только начальная термодинамическая энтропия системы, деленная на Постоянная Больцмана. Однако если это действительно начальные условия (а это важнейшее допущение), то такие корреляции формируются со временем. Другими словами, происходит уменьшение взаимной энтропии (или увеличение взаимной информации), причем на время, которое не слишком велико—корреляции (взаимная информация) между частицами только возрастают со временем. Следовательно, термодинамическая энтропия, пропорциональная предельной энтропии, также должна увеличиваться со временем [6] (обратите внимание, что "не слишком долго" в этом контексте относится к времени, необходимому, в классическом варианте системы, для того, чтобы она прошла через все свои возможные микросостояния—время, которое можно приблизительно оценить как τ e S tau e^{S}, где τ \Тау это время между столкновениями частиц, а S-энтропия системы. В любом практическом случае это время огромно по сравнению со всем остальным). Обратите внимание, что корреляция между частицами не является полностью объективной величиной. Нельзя измерить взаимную энтропию, можно только измерить ее изменение, предполагая, что можно измерить микрогосударство. Термодинамика ограничена тем случаем, когда микростатические состояния не могут быть различимы, что означает, что только предельная энтропия, пропорциональная термодинамической энтропии, может быть измерена и, в практическом смысле, всегда увеличивается.
Стрела времени в различных явлениях[править]
Основная статья: Стрела времени
Явления , которые происходят по-разному в зависимости от их временного направления, в конечном счете могут быть связаны со вторым закономтермодинамики, например кубики льда тают в горячем кофе, а не собираются сами из кофе, и блок, скользящий по шероховатой поверхности, замедляется, а не ускоряется. Идея о том, что мы можем помнить прошлое, а не будущее, называется "психологической стрелой времени" и имеет глубокие связи с демоном Максвелла и физика информации; память связана со вторым законом термодинамики, если рассматривать ее как корреляцию между клетками мозга (или компьютерными битами) и внешним миром: поскольку такие корреляции увеличиваются со временем, память связана с прошлыми событиями, а не с будущими событиями[нужная цитата].
Текущие исследования[править]
Современные исследования сосредоточены главным образом на математическом описании термодинамической стрелы времени, как в классических, так и в квантовых системах, и на понимании ее происхождения с точки зрения космологических граничных условий.
Динамические системы[править]
Некоторые современные исследования динамических систем указывают на возможное "объяснение" стрелы времени. Существует несколько способов описания временной эволюции динамической системы. В классических рамках рассматривается дифференциальное уравнение, где одним из параметров является явно выраженное время. По самой природе дифференциальных уравнений решения таких систем по своей сути обратимы во времени. Однако многие из интересных случаев являются либо эргодическими, либо смешанными и есть сильное подозрение, что смешение и эргодичность каким-то образом лежат в основе фундаментального механизма стрелы времени.
Смешивающие и эргодические системы не имеют точных решений, и поэтому доказать необратимость времени в математическом смысле невозможно (по состоянию на 2006). Некоторый прогресс может быть достигнут путем изучения моделей дискретного времени или разностных уравнений. Многие модели дискретного времени, такие как итерационные функции, рассматриваемые в популярных программах фрактального рисования, явно не обратимы во времени, поскольку любая данная точка "в настоящем" может иметь несколько различных "прошлых", связанных с ней: действительно, множество всех прошлых известно как множество Джулии. Поскольку такие системы обладают встроенной необратимостью, нецелесообразно использовать их для объяснения того, почему время необратимо.
Существуют и другие хаотические системы, также явно обратимые во времени: среди них есть карта Бейкера, которая также точно разрешима. Интересным направлением исследования является изучение решений таких систем не путем итерации динамической системы во времени, а вместо этого изучение соответствующего оператора Фробениуса-перрона или оператора переноса для системы. Для некоторых из этих систем можно явно, математически показать, что операторы переноса не относятся к классу трассировки. Это означает, что эти операторы не имеют уникального собственного значения спектр, который не зависит от выбора основы. В случае карты Бейкера можно показать, что существует несколько уникальных и неэквивалентных диагонализаций или базисов, каждый из которых имеет различный набор собственных значений. Именно это явление можно предложить в качестве "объяснения" стрелы времени. То есть, хотя итерационная дискретно-временная система явно симметрична по времени, оператор переноса-нет. Кроме того, оператор переноса может быть диагонализирован одним из двух неравнозначных способов: тот, который описывает эволюцию системы в прямом времени, и тот, который описывает эволюцию в обратном времени.
По состоянию на 2006 год этот тип нарушения временнойсимметрии был продемонстрирован лишь для очень небольшого числа точно разрешимых систем дискретного времени. Оператор переноса для более сложных систем не был последовательно сформулирован, и его точное определение погрязло в различных тонких трудностях. В частности, не было показано , что она имеет нарушенную симметрию для простейших точно разрешимых эргодических систем непрерывного времени,таких как бильярд Адамараили поток Аносова на касательном пространстве PSL(2, R).
Квантовая механика[править]
Исследования необратимости в квантовой механике идут в нескольких направлениях. Одним из направлений является изучение сфальсифицированных Гильбертовых пространстви, в частности, того, как смешиваются дискретные и непрерывные спектры собственныхзначений . Например, рациональные числа полностью перемешаны с вещественными числамии все же обладают уникальным, отличным набором свойств. Есть надежда, что изучение Гильбертовых пространств с подобным смешением даст представление о стреле времени.
Другой отличительный подход заключается в изучении квантового хаоса, с помощью которого предпринимаются попытки квантовать системы как классически хаотические, эргодические или смешанные. полученные результаты не отличаются от тех, которые получены с помощью метода оператора переноса. Например, квантование газа Больцмана то есть газ твердых (упругих) точечных частиц в прямоугольном ящике показывает, что собственные функции являются заполняющими пространство фракталами, занимающими весь ящик, и что собственные значения энергии очень близко расположены и имеют "почти непрерывный" спектр (для конечного числа частиц в ящике спектр должен быть, по необходимости, дискретным). Если начальные условия таковы, что все частицы ограничены одной стороной коробки, система очень быстро эволюционирует в ту, где частицы заполняют всю коробку. Даже когда все частицы изначально находятся на одной стороне коробки, их волновые функции действительно пронизывают всю коробку: они конструктивно интерферируют с одной стороны и деструктивно интерферируют с другой. Затем утверждается необратимость, отмечая, что" почти невозможно", чтобы волновые функции были" случайно " расположены в каком-то маловероятном состоянии: такие расположения представляют собой набор нулевой меры. Поскольку собственные функции являются фракталами, большая часть языка и механизмов энтропии и статистической механики может быть импортирована для обсуждения и аргументации квантового случая.
Космология[править]
Некоторые процессы, в которых участвуют частицы с высокой энергией и которые управляются слабой силой (например, распад к-мезона), нарушают симметрию между временными направлениями. Однако все известные физические процессы сохраняют более сложную симметрию (CPT-симметрию) и поэтому не связаны со вторым законом термодинамикиили с повседневным опытом стрелы времени. Заметным исключением является коллапс волновой функции в квантовой механике, необратимый процесс, который считается либо реальным (Копенгагенская интерпретация), либо только кажущимся (многомировая интерпретация квантовой механики). В любом случае коллапс волновой функции всегда следует за квантовой декогеренцией, процессом , который понимается как результат второго закона термодинамики.
Вселенная находилась в однородном состоянии высокой плотности на самых ранних стадиях своего развития, вскоре после Большого Взрыва. Горячий газ в ранней Вселенной был близок к термодинамическому равновесию (см. проблему горизонта); в системах, где гравитация играет главную роль, это состояние низкой энтропии из-за отрицательной теплоемкости таких систем (это в отличие от негравитационных систем, где термодинамическое равновесие это состояние максимальной энтропии). Более того, из-за его малого объема по сравнению с будущими эпохами энтропия была еще ниже, так как расширение газа увеличивает его энтропию. Таким образом, раннюю Вселенную можно считать высокоупорядоченной. Заметим, что однородность этого раннего почти равновесного состояния была объяснена теорией космической инфляции.
Согласно этой теории, Вселенная (или, скорее, ее доступная часть, радиус 46 миллиардов световых лет вокруг Земли) развилась из крошечного, абсолютно однородного объема (часть гораздо большей вселенной), который сильно расширился; следовательно, он был высоко упорядочен. Затем флуктуации были созданы квантовыми процессами, связанными с его расширением, причем предполагалось, что эти флуктуации проходят через квантовую декогерентность, так что они стали некоррелированными для любого практического использования. Предполагается, что это даст искомые начальные условия, необходимые для второго закона термодинамики; различные декогерентные состояния в конечном счете эволюционировали в различные специфические расположения галактик и звезд.
Вселенная, по-видимому, открытая Вселенная, так что ее расширение никогда не закончится, но это интересный мысленный эксперимент, чтобы представить, что произошло бы, если бы Вселенная была закрыта. В таком случае его расширение остановилось бы в определенное время в отдаленном будущем, а затем начало бы сжиматься. Более того, замкнутая Вселенная конечна. Неясно, что произойдет со вторым законом термодинамики в таком случае ... Можно было бы представить себе, по крайней мере, два различных сценария, хотя на самом деле только первый из них правдоподобен, поскольку другой требует очень плавной космической эволюции, вопреки тому, что наблюдается:
- Сегодня в научном сообществе широко распространено мнение о том, что гладкие начальные условия приводят к крайне негладкому конечному состоянию и что именно это является источником термодинамической стрелы времени. гравитационные системы имеют тенденцию гравитационно сжиматься до компактных тел, таких как черные дыры (явление, не связанное с коллапсом волновой функции), так что когда Вселенная заканчивается большим хрустом, который очень отличается от Большого Взрыва двигайтесь в обратном направлении, так как распределение материи было бы очень негладким; по мере того как вселенная сжимается, такие компактные тела сливаются в более крупные черные дыры. Возможно даже, что Вселенная не может иметь ни гладкого начала, ни гладкого конца. Заметим, что в этом сценарии плотность энергии Вселенной на конечных стадиях ее сжатия значительно больше , чем на соответствующих начальных стадиях ее расширения (разрушительной интерференции нет, в отличие от первого сценария, описанного выше), и состоит в основном из черных дыр, а не из свободных частиц.
- Весьма спорная точка зрения состоит в том, что вместо этого стрела времени повернет вспять.Квантовые флуктуации, которые тем временем эволюционировали в Галактики и звезды, будут находиться в суперпозиции таким образом, что весь описанный выше процесс обратится вспять—то есть флуктуации будут стерты разрушительной интерференцией и полная однородность будет достигнута снова. Таким образом, Вселенная заканчивается большим хрустом, который похож на ее начало в Большом Взрыве. Поскольку они полностью симметричны, а конечное состояние очень высоко упорядочено, энтропия должна уменьшаться ближе к концу Вселенной, так что второй закон термодинамики обращается вспять, когда Вселенная сжимается. Это можно понять следующим образом: в очень ранней Вселенной взаимодействия между флуктуациями создавали запутанность (квантовые корреляции) между частицами, распространенными по всей вселенной; во время расширения эти частицы стали настолько удаленными, что эти корреляции стали незначительными (см. квантовую декогерентность). В тот момент, когда расширение прекращается и Вселенная начинает сжиматься, такие коррелированные частицы снова вступают в контакт (после обращения вокруг Вселенной), и Энтропия начинает уменьшаться—потому что сильно коррелированные начальные условия могут привести к уменьшению энтропии. Иначе говоря, по мере того, как удаленные частицы прибывают, обнаруживается все больше и больше порядка, потому что эти частицы сильно коррелируют с частицами, которые прибыли раньше. В этом сценарии космологическая стрела времени это причина как термодинамической стрелы времени, так и квантовой стрелы времени. И то, и другое постепенно исчезнет, когда Вселенная остановится, а затем обратится вспять.
В первом и более согласованном сценарии именно разница между начальным и конечным состоянием Вселенной ответственна за термодинамическую стрелу времени. Это не зависит от космологической стрелы времени.
См. также[править]
Дальнейшее чтение[править]
- Halliwell, J. J.; et al. (1994). Физические истоки асимметрии времени. Кембридж. (технический).
- Mackey, Michael C. (1992). Стрела времени: истоки термодинамического поведения. Berlin Heidelberg New York: Springer. . "... показано, что для глобальной эволюции энтропии необходимо ее максимальное значение ... необходимо и достаточно, чтобы система обладала свойством, известным как точность. ... эти критерии предполагают, что все сформулированные в настоящее время физические законы не могут лежать в основе термодинамического поведения, которое мы наблюдаем каждый день нашей жизни. (страница xi)"
- Дувр переиздал монографию в 2003 году . Для краткой статьи, перечисляющей " существенные моменты этого аргумента, исправляя моменты презентации, которые были сбивающими с толку ... и подчеркивание выводов более убедительно, чем раньше" см.Mackey, Michael C. (2001). "Микроскопическая динамика и Второй закон термодинамики" (PDF). In Mugnai, C.; Ranfagni, A.; Schulman, L. S. (eds.). Стрела времени, Квантовое измерение и сверхсветовое поведение. Rome: Consiglio Nazionale Delle Ricerche. С. 49-65. Архивировано с оригинала (PDF) 2011-07-25.
- Шон М. Кэрролл, от вечности сюда: поиски окончательной теории времени