Редактирование: Ортогональная проекция
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий ниже, чтобы убедиться, что это нужная вам правка, и запишите страницу ниже, чтобы отменить правку.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 192: | Строка 192: | ||
==Канонические формы== | ==Канонические формы== | ||
Любая проекция P = P 2 на векторное пространство размерности d | Любая проекция P = P 2 {\displaystyle P=P^{2}} {\displaystyle P=P^{2}}на векторное пространство размерности d {\displaystyle d} днад полем является диагонализуемой матрицей, так как ее минимальный полином делится x 2 − x {\displaystyle x^{2}-x} {\displaystyle x^{2} - x}, который расщепляется на отдельные линейные факторы. Таким образом существует основа, в которой P {\displaystyle P} Пимеет вид | ||
P = I r ⊕ 0 d − r {\displaystyle P=I_{r}\oplus 0_{d-r}} P=I_{r}\oplus 0_{d-r} | |||
где r | где r {\displaystyle r} Рнаходится ранг P {\displaystyle P} ПВ. Вот I r {\displaystyle I_{r}} I_rматрица идентичности размера r {\displaystyle r} Р, и 0 d − r {\displaystyle 0_{d-r}} {\displaystyle 0_{d-r}}это нулевая матрица размера d − r {\displaystyle d-r} д-р. Если векторное пространство является сложным и снабжено внутренним произведением , то существует ортонормированный базис, в котором матрица P является [13] | ||
P = [ 1 σ 1 0 0 ] ⊕ ⋯ ⊕ [ 1 σ k 0 0 ] ⊕ I m ⊕ 0 s {\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&\sigma _{1}\\0&0\end{bmatrix}}\oplus \cdots \oplus {\begin{bmatrix}1&\sigma _{k}\\0&0\end{bmatrix}}\oplus I_{m}\oplus 0_{s}} P={\begin{bmatrix}1&\sigma _{1}\\0&0\end{bmatrix}}\oplus \cdots \oplus {\begin{bmatrix}1&\sigma _{k}\\0&0\end{bmatrix}}\oplus I_{m}\oplus 0_{s} . | |||
- куда σ 1 ≥ σ 2 ≥ … ≥ σ k > 0 }же . Целые k , s , m , }и вещественные числа σ i определяются однозначно. Заметьте это k + s + m = d }. Фактор I m ⊕ 0 s }соответствует максимальному инвариантному подпространству, на котором P | - куда σ 1 ≥ σ 2 ≥ … ≥ σ k > 0 {\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \ldots \geq \sigma _{k}>0} {\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \ldots \geq \sigma _{k}>0}же . Целые k , s , m {\displaystyle k,s,m} {\displaystyle k, s, m}и вещественные числа σ i {\displaystyle \sigma _{i}} \sigma _{i}определяются однозначно. Заметьте это k + s + m = d {\displaystyle k+s+m=d} {\displaystyle k+s+m=d}. Фактор I m ⊕ 0 s {\displaystyle I_{m}\oplus 0_{s}} {\displaystyle I_{m}\oplus 0_{s}}соответствует максимальному инвариантному подпространству, на котором P {\displaystyle P} Пдействует ортогональная проекция (так что сам P ортогональен тогда и только тогда k = 0 {\displaystyle k=0} k=0, когда), а блоки σ i {\displaystyle \sigma _{i}} \sigma _{i}-соответствуют косым компонентам. | ||
Проекции на нормированные векторные пространства | |||
Когда базовое векторное пространство X | Когда базовое векторное пространство X {\displaystyle X} Иксявляется (не обязательно конечномерным) нормированным векторным пространством , необходимо рассмотреть аналитические вопросы, не имеющие отношения к конечномерному случаю. Предположим, что теперь X {\displaystyle X} Иксэто Банахово пространство . | ||
Многие из алгебраических результатов, рассмотренных выше, переживают переход к этому контексту. Заданное разложение прямой суммы X | Многие из алгебраических результатов, рассмотренных выше, переживают переход к этому контексту. Заданное разложение прямой суммы X {\displaystyle X} Иксна дополнительные подпространства по-прежнему определяет проекцию, и наоборот. Если X {\displaystyle X} Иксэто прямая сумма X = U ⊕ V {\displaystyle X=U\oplus V} {\displaystyle X=U\oplus V}, то оператор, определенный по P ( u + v ) = u {\displaystyle P(u+v)=u} {\displaystyle P (u+v)=u}-прежнему является проекцией с диапазоном U {\displaystyle U} Uи ядром V {\displaystyle V} В. И это тоже понятно P 2 = P {\displaystyle P^{2}=P} {\displaystyle P^{2}=P}. И наоборот, если P {\displaystyle P} Пэто проекция на X {\displaystyle X} Икс, т. е. P 2 = P {\displaystyle P^{2}=P} {\displaystyle P^{2}=P}, то это легко проверить ( 1 − P ) 2 = ( 1 − P ) {\displaystyle (1-P)^{2}=(1-P)} {\displaystyle (1-P)^{2}=(1-P)}. Другими словами, 1 − P {\displaystyle 1-P} {\displaystyle 1-P}это тоже проекция. Это отношение P 2 = P {\displaystyle P^{2}=P} {\displaystyle P^{2}=P}подразумевает 1 = P + ( 1 − P ) {\displaystyle 1=P+(1-P)} {\displaystyle 1=P+(1-P)}и X {\displaystyle X} Иксявляется прямой суммой r a n ( P ) ⊕ r a n ( 1 − P ) {\displaystyle \mathrm {ran} (P)\oplus \mathrm {ran} (1-P)} {\displaystyle \mathrm {ran} (P)\oplus \mathrm {ran} (1-P)}. | ||
Однако в отличие от конечномерного случая проекции вообще не должны быть непрерывными. Если подпространство U | Однако в отличие от конечномерного случая проекции вообще не должны быть непрерывными. Если подпространство U {\displaystyle U} U X {\displaystyle X} Иксне замкнуто в топологии нормы, то проекция на U {\displaystyle U} Uне является непрерывной. Другими словами, диапазон непрерывной проекции P {\displaystyle P} Пдолжен быть замкнутым подпространством. Кроме того, ядро непрерывной проекции (фактически, непрерывный линейный оператор в целом) замкнуто. Таким образом, непрерывная проекция P {\displaystyle P} Пдает разложение X {\displaystyle X} Иксна два взаимодополняющих замкнутых подпространства: X = r a n ( P ) ⊕ k e r ( P ) = k e r ( 1 − P ) ⊕ k e r ( P ) {\displaystyle X=\mathrm {ran} (P)\oplus \mathrm {ker} (P)=\mathrm {ker} (1-P)\oplus \mathrm {ker} (P)} {\displaystyle X=\mathrm {ran} (P)\oplus \mathrm {ker} (P)=\mathrm {ker} (1-P)\oplus \mathrm {ker} (P)}. | ||
Обратное также имеет место, с дополнительным предположением. Предположим U | Обратное также имеет место, с дополнительным предположением. Предположим U {\displaystyle U} U, это замкнутое подпространство X {\displaystyle X} Икс. Если существует замкнутое подпространство V {\displaystyle V} В, такое что X = U ⊕ V, то проекция P {\displaystyle P} Пс диапазоном U {\displaystyle U} Uи ядром V {\displaystyle V} Внепрерывна. Это следует из теоремы о замкнутом графе . Пусть x n → x и Px n → y . Нужно это показать P x = y {\displaystyle Px=y} Px=y. Так U {\displaystyle U} Uкак замкнут и { Px n } ⊂ U, y лежит внутри U {\displaystyle U} U, т. е. Py = y . Кроме того, x n-Px n = (I − P ) x n → x − y . Поскольку V {\displaystyle V} Взамкнут и {(I-P) x n } ⊂ V , мы имеем x − y ∈ V {\displaystyle x-y\in V} {\displaystyle x-y\in V}, т. е. P ( x − y ) = P x − P y = P x − y = 0 {\displaystyle P(x-y)=Px-Py=Px-y=0} {\displaystyle P (x-y)=Px-Py=Px-y=0}E. , который доказывает утверждение. | ||
Приведенный выше аргумент использует предположение, что оба U {\displaystyle U} Uи V {\displaystyle V} Взакрыты. В общем случае, учитывая замкнутое подпространство U {\displaystyle U} U, не должно существовать дополнительного замкнутого подпространства V {\displaystyle V} В, хотя для Гильбертовых пространств это всегда можно сделать, взяв ортогональное дополнение . Для банаховых пространств одномерное подпространство всегда имеет замкнутое дополнительное подпространство. Это является непосредственным следствием теоремы Хана-Банаха . Пусть U Uбудет линейный пролет u u. По Хану-Банаху существует ограниченный линейный функционал φ , такой что φ (u ) = 1 . Оператор P ( x ) = φ ( x ) u u}удовлетворяет P 2 = P P^{2}=P, т. е. это проекция. Ограниченность φ {\displaystyle \varphi } \varphi подразумевает непрерывность P P} П и поэтому ker ( P ) = ran ( I − P ) operatorname {ker} (P)=\operatorname {ran} (I-P)} \operatorname {ker} (P)=\operatorname {ran} (I-P)}является замкнутым комплементарным подпространством U . | |||
==Приложения и дополнительные соображения== | ==Приложения и дополнительные соображения== | ||