Кривая педали
Кривая педали является результатом ортогональной проекции неподвижной точки На касательные линии данной кривой. Более точно , для плоской кривой C и заданной неподвижной точки педали P кривая педали C является локусом точек X так, что линия PX перпендикулярна касательной T к кривой, проходящей через точку X . И наоборот , в любой точке R на кривой C пусть T-касательная линия в этой точке R ; тогда существует единственная точка X на касательной T, которая образует с точкой педали P линию, перпендикулярную касательной T (для частного случая, когда неподвижная точка P лежит на касательной T, точки X и P совпадают) – кривая педали представляет собой набор таких точек X, называемых подножием перпендикуляра к касательной T от неподвижной точки P, поскольку переменная точка R колеблется над кривой C .
Дополняя кривую педали, существует единственная точка Y на линии, нормальной к C в точке R, так что PY перпендикулярен нормали, поэтому PXRY является (возможно, вырожденным) прямоугольником. Локус точек Y называется контропедальной кривой.
Ортотомия кривой-это ее педаль, увеличенная в 2 раза так, что центр подобия равен P . Это локус отражения P через касательную T .
Кривая педали является первой в серии кривых C 1 , C 2 , C 3 и т.д., где С1-педаль с, С2-педаль С1, и так далее. В этой схеме C1 известен как первая положительная педаль C , C2-вторая положительная педаль C и т. д. Идя в другом направлении, C-это первая отрицательная педаль C 1,вторая отрицательная педаль C 2 и т. д.[
Уравнения[править]
Из Декартового уравнения[править]
Возьмем P как начало координат. Для кривой, заданной уравнением F( x, y )=0, если уравнение касательной линии при R = (x 0, y 0 ) записано в виде
- cos α x + sin α y = p
тогда вектор (cos α, sin α) параллелен отрезку PX , а длина PX , являющаяся расстоянием от касательной линии до начала координат, равна p . Таким образом , X представляется полярными координатами ( p , α) и замена ( p , α) на ( r, θ) дает полярное уравнение для кривой педали
Например, для эллипса
- x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1
касательная линия при R = (x 0 , y 0 ) равна
- x 0 x a 2 + y 0 y b 2 = 1
и написание этого в форме, приведенной выше, требует, чтобы
- x 0 a 2 = cos α p , y 0 b 2 = sin α p .
Уравнение для эллипса может быть использовано для устранения x 0 и y 0 дающих
- a 2 cos 2 α + b 2 sin 2 α = p 2 ,
а преобразование в ( r, θ) дает
- a 2 cos 2 θ + b 2 sin 2 θ = r 2 ,
как полярное уравнение для педали. Это легко преобразуется в декартово уравнение как
- a 2 x 2 + b 2 y 2 = ( x 2 + y 2 ) 2 . ,
Из Полярного уравнения[править]
Для P начало координат и C задано в полярных координатах по r = f (θ). Пусть R = (r , θ) - точка на кривой , а X = (p, α) - соответствующая точка на кривой педали. Пусть ψ обозначает угол между касательной линией и радиус-вектором, иногда известный как полярный тангенциальный угол . Это дается путем
- r = d r d θ tan ψ .
Затем
- p = r sin ψ
и
- α = θ + ψ − π 2 .
Эти уравнения могут быть использованы для получения уравнения в p и α, которое при переводе в r и θ дает полярное уравнение для кривой педали.
Например, пусть кривая-это окружность, заданная r = A cos θ. Затем
- a cos θ = − a sin θ tan ψ
так
- tan ψ = − cot θ , ψ = π 2 + θ , α = 2 θ .
Также
- p = r sin ψ = r cos θ = a cos 2 θ = a cos 2 α 2 .
Таким образом, полярное уравнение педали является
- r = a cos 2 θ 2 .
Из уравнения педали[править]
Педальные уравнения кривой и ее педали тесно связаны между собой. Если в качестве точки педали и начала координат взять P, то можно показать, что угол ψ между кривой и радиус-вектором в точке R равен соответствующему углу для кривой педали в точке X . Если p-длина перпендикуляра, проведенная от P до касательной кривой (т. е. PX ), а q-длина соответствующего перпендикуляра, проведенная от P до касательной к педали, то по аналогичным треугольникам
- p r = q p . .
Из этого сразу следует, что если уравнение педали кривой является f (p, r )=0, то уравнение педали для кривой педали является
- f ( r , r 2 p ) = 0
Из этого все положительные и отрицательные педали могут быть легко вычислены, если известно уравнение педали кривой.
Из параметрических уравнений[править]
Позволь v → = P − R =P-R быть вектором для R к P и записать
- v → = v → ∥ + v → ⊥
тангенциальная и нормальная составляющие v → относительно кривой. Тогда v → ∥ parallel }}это вектор от R до X, из которого можно вычислить положение X.
В частности, если c является параметризацией кривой, то
- t ↦ c ( t ) + c ′ ( t ) ⋅ ( P − c ( t ) ) | c ′ ( t ) | 2 c ′ ( t ) cdot over mapsto c (
параметризует кривую педали (без учета точек, где c ' равно нулю или не определено).
Для параметрически определенной кривой ее кривая педали с точкой педали (0;0) определяется как
- X [ x , y ] = ( x y ′ − y x ′ ) y ′ x ′ 2 + y ′ 2
- Y [ x , y ] = ( y x ′ − x y ′ ) x ′ x ′ 2 + y ′ 2 . .
Контропедальная кривая задается по формуле:
- t ↦ P − c ′ ( t ) ⋅ ( P − c ( t ) ) | c ′ ( t ) | 2 c ′ ( t ) mapsto P cdot \over
С той же точкой педали контропедальная кривая является кривой педали эволюта данной кривой.
Геометрические свойства[править]
Рассмотрим прямой угол, движущийся жестко так, что одна нога остается в точке P, а другая нога является касательной к кривой. Тогда вершиной этого угла является X и прослеживается кривая педали. При движении угла его направление движения в точке P параллельноpx, а направление движения в точке R - касательной t = RX . Таким образом , мгновенный центр вращения является пересечением линии, перпендикулярной PX в точке P и перпендикулярной RX в точке R, и эта точка является Y . Если следует, что касательная к педали в точке X перпендикулярна XY .
Нарисуйте круг с диаметром PR, затем он описывает прямоугольник PXRY, а XY-другой диаметр. Окружность и педаль оба перпендикулярны к XY поэтому они касательны на X. Следовательно, педаль является огибающей окружностей с диаметрами PR, где R лежит на кривой.
Линия YR нормальна к кривой, и огибающая таких нормалей является ее эволюцией . Таким образом, YR является касательной к evolute, а точка Y является подножием перпендикуляра от P до этой касательной, другими словами Y находится на педали evolute. Отсюда следует, что контропедаль кривой-это педаль ее эволюции.
Пусть C ' - кривая, полученная при сжатии C в 2 раза в сторону P . Тогда точка R', соответствующая R, является центром прямоугольника PXRY, а касательная к C' в точке R' делит этот прямоугольник пополам параллельно PY и XR . Луч света, исходящий из Р и отраженный C 'в точке R', затем пройдет через Y . Отраженный луч, будучи вытянутым, представляет собой линию XY, которая перпендикулярна педали C . Огибающая линий, перпендикулярных педали, является тогда огибающей отраженных лучей или катакустикой C' . Это доказывает, что катакустика кривой является эволюцией ее ортотомии.
Как уже отмечалось ранее, окружность с диаметром PR является касательной к педали. Центром этой окружности является R', который следует за кривой C'.
Пусть D '- кривая, конгруэнтная C', и пусть D' катится без скольжения , как в определении рулетки, на C', так что D' всегда является отражением C ' относительно линии, к которой они взаимно касательны. Затем, когда кривые соприкасаются в точке R', точка, соответствующая P на движущейся плоскости, равна X, и поэтому рулетка является кривой педали. Аналогично, ортотомия кривой - это рулетка кривой на ее зеркальном изображении.
Пример[править]
Когда C-это круг, приведенное выше обсуждение показывает, что следующие определения limaçon эквивалентны:
- Это педаль окружности.
- Это огибающая окружностей, диаметры которых имеют одну конечную точку на фиксированной точке и другую конечную точку, которая следует за окружностью.
- Это огибающая кругов через неподвижную точку, центры которой следуют за окружностью.
- Это рулетка, образованная кругом, катящимся по кругу с одинаковым радиусом.
Мы также показали, что катакустика круга является эволюцией лимасона.
Педали конкретных кривых[править]
Педали некоторых конкретных кривых являются:
| Кривая | Уравнение | Точка педали | Кривая педали |
|---|---|---|---|
| Круг | Т | Точка на окружности | Кардиоидный |
| Круг | Т | Любая точка | Limaçon |
| Парабола | Т | Сосредоточить | Касательная линия в вершине |
| Парабола | Т | Вершина | Циссоида Диокла |
| Дельтовидная мышца | Т | Центр | Трилистник |
| Центральный коник | Т | Сосредоточить | Вспомогательный круг |
| Центральный коник | x 2 a 2 ± y 2 b 2 = 1 | Центр | a 2 cos 2 θ ± b 2 sin 2 θ = r 2(бегемотка) |
| Прямоугольная гипербола | Т | Центр | Лемнискат из Бернулли |
| Логарифмическая спираль | Т | Полюс | Логарифмическая спираль |
| Синусоидальная спираль | r n = a n cos n θ theta | Полюс | r n n + 1 = a n n + 1 cos n n + 1 θ
\theta (еще одна синусоидальная спираль) |