Принцип минимизации пробоя Кернера

Принцип минимизации пробоя Кернера (BM principle) - это принцип оптимизации транспортных сетей, введенный Борисом Кернером в 2011 году.

Определение

Принцип BM гласит, что оптимум сети трафика с N узкими местами сети достигается, когда динамическая оптимизация и/или управление трафиком в сети выполняются таким образом, что вероятность самопроизвольного возникновения пробоя трафика по крайней мере в одном из узких мест сети в течение заданного времени наблюдения достигает минимально возможного значения. Принцип BM эквивалентен максимизации вероятности того, что сбой трафика не происходит ни в одном из узких мест сети.

Эмпирическая основа

Эмпирическим основанием для принципа Кернера BM является совокупность фундаментальных эмпирических признаков пробоя движения на узком месте автомагистрали, найденных в измеренных данных движения:

Рисунок 1: фундаментальные эмпирические характеристики пробоя движения (переход F → S) на узком месте шоссе: (а, б) усредненная измеренная скорость в пространстве и времени в случаях спонтанных (а) и индуцированных (б) пробоин движения.

• Разбивка трафика на узком месте шоссе-это локальный фазовый переход от свободного потока (F) к перегруженному трафику, фронт которого вниз по течению обычно фиксируется в месте узкого места. В пределах этого фронта транспортные средства ускоряются от перегруженного движения к свободному потоку вниз по течению от узкого места.
• В то же время нарушение движения может быть спонтанным (Рис.1 А)) или индуцированным(Рис. 1 б).
• Вероятность пробоя трафика-это возрастающая функция расхода.
• Существует хорошо известный феномен гистерезиса, связанный с пробоем трафика: когда пробой произошел на некоторых скоростях потока с образованием перегруженной картины перед узким местом, то обратный переход к свободному потоку на узком месте обычно наблюдается при значительно меньших скоростях потока (Рис.2).

Рисунок 2: фундаментальные эмпирические особенности пробоя трафика на узком месте шоссе: явление гистерезиса, вызванное пробоем трафика ( переход F → S) и обратным переходом от перегруженного к свободному потоку (переход S → F).

Самопроизвольное нарушение движения происходит там, где есть свободные потоки как вверх, так и вниз по течению от узкого места до того, как нарушение произошло (рис. 1(a)). Напротив, индуцированный пробой трафика вызван распространением перегруженной модели, которая ранее возникла, например, на другом узком месте ниже по течению (Рис.1 (b)).

Рисунок 3: объяснение фундаментальных эмпирических особенностей пробоя на узком месте шоссе с помощью трехфазной теории Кернера: (а, б) моделирование спонтанных (а) и индуцированных (б) пробоин на узком месте шоссе. c) смоделированная зависимость скорости потока от вероятности срыва движения на узком месте автомагистрали. d) качественная Z-характеристика дорожного движения в плоскости скорость—расход (стрелка связана с переходом F → S); узкие места, обозначенные окружностями F и S, связаны со свободным и синхронизированным потоком.

Совокупность 1-4 фундаментальных эмпирических особенностей нарушения движения на узком месте магистрали впервые была объяснена в трехфазной теории Кернера (Рис.3). В теории Кернера есть три фазы: свободный поток (F), синхронизированный поток (S), широкий движущийся джем (J). Синхронизированный поток и широкий движущийся затор связаны с перегруженным трафиком. Фаза синхронизированного потока определяется как перегруженный трафик, нисходящий фронт которого фиксируется в узком месте. Поэтому в соответствии с эмпирическим признаком 1 пробой трафика является фазовым переходом от свободного потока к синхронизированному потоку (называется F → S переход.) Основная особенность перехода F → S заключается в следующем (Рис.3 (c, d)): существует широкий диапазон скоростей потока на звене транспортной сети между минимальной и максимальной мощностями свободного потока. В этом диапазоне скоростей потока пробой трафика происходит с некоторой вероятностью, которая зависит от скорости потока (Рис.3, в)).

Математическая формулировка

Предполагая, что при различных узких местах пробой трафика происходит независимо, вероятность самопроизвольного возникновения пробоя трафика по крайней мере в одном из узких мест сети в течение заданного времени наблюдения можно записать как:

P_net=1-Пⁿ_R=1(1-P^(b,R))

В соответствии с принципом BM, сетевой оптимум достигается при

min_q1,q2...qm{P_net(q1,q2...qm)}

Здесь M М-количество сетевых соединений , для которых можно регулировать скорость потока; q m q_- скорость притока канала для канала с индексом m m} м; m = 1 , 2 , … , M , где M > 1 M>1; k тысяча- индекс узкого места, k = 1 , 2 , … , N , N > 1 N>1; P ( B , k ) } }- вероятность того, что в течение интервала времени наблюдения пробой трафика произойдет на узком месте с индексом k тысяча.

Моделирование

Рисунок 4: моделирование принципа BM для простой сетевой модели, показанной в (а). (b, c) вероятность пробоя трафика в сети P n e t , найденная по принципу BM. В подпункте (а) альтернативные маршруты 1 и 2 имеют длину L 1 }, где L 2 > L 1 L_ L_{2}>L_{1}}; маршруты 1 и 2-это дороги с узкими местами на пандусах , скорость притока которых на пандусах q o n 1 q_ _{on1}}и q o n 2 {on2}} q_{on2}}их константы. Оптимизация сети осуществляется путем назначения сетевого притока со скоростью q O между сетевыми связями m = 1 m=2.

Результаты моделирования принципа BM для простой сети, состоящей только из двух маршрутов, показаны на рисунке 4(а). Хотя вероятность пробоя трафика является возрастающей функцией скорости потока для каждого из узких мест(Рис.3 (c)), вероятность пробоя трафика в сети P n e t }} }}имеет минимум как функция скорости притока q 1 q_{1}канала и q 2 q_{2}(рис. 4 (b, c)).

Альтернативные маршруты в сети

Прежде чем применять принцип BM к большой сети трафика, для каждой из пар источник-назначение (O–D) сети должен быть найден набор альтернативных маршрутов (путей). Альтернативные маршруты могут быть рассчитаны на основе следующих допущений: (i) существует свободный поток во всей сети и (ii) максимальная разница между временами поездки для альтернативных маршрутов не превышает заданного значения, которое может быть выбрано по–разному для различных пар O-D.

Как применить принцип BM, если пробой трафика уже произошел в узком месте сети

Оптимизация сети с измеренными характеристиками пробоя трафика может состоять из следующих этапов: (i) пространственное ограничение роста заторов с последующим растворением заторов на узком месте, если возможно растворение заторов из-за управления трафиком в окрестности узкого места. (ii) минимизация вероятности пробоя трафика с использованием принципа BM в оставшейся сети, т. е. в той части сети, на которую не влияет перегрузка.

Принцип BM и классические принципы UE и SO Wardrop

Принцип BM является альтернативой известным принципам оптимизации и управления автомобильными сетями, основанным на минимизации транспортных расходов (время в пути, расход топлива и т.д.).) или максимизация пропускной способности (как максимизация ширины полосы зеленой волны в городе). в частности, наиболее известные классические принципы минимизации расходов на поездки в дорожной сети Уордроп в равновесии пользователя (UE) и систему оптимальных (т.) принципы] которые широко используются в теории динамического назначения трафика в сети. принципы SO и UE Wardrop были объяснены в Secs. 7.1 и 7.2 статьи Википедии .

Однако, когда скорость потока на звене сети находится между максимальной и минимальной мощностями, на звене может быть по крайней мере два различных состояния узкого места, обозначенного кружками F и S, показанными на рисунке 3 (d). Состояние F связано со свободным потоком, а состояние S-с синхронизированным потоком. Таким образом, гипотетически предполагая, что каждый из расходов канала для каждого из N узких мест сети находится между связанными минимальными и максимальными мощностями узкого места, мы находим, что могут быть 2 N 2^N различные состояния узких мест в сети при одинаковом распределении расходов в сети. При применении алгоритма оптимизации, связанного с минимизацией стоимости проезда в сети, случайные переходы между этими состояниями F и S могут происходить при различных узких местах сети в процессе оптимизации и/или управления сетью.

Вместо некоторых транспортных расходов, в принципе BM целевой функцией, которая должна быть минимизирована, является вероятность пробоя трафика в сети P n e t P_ . Таким образом, целевая функция в принципе BM, которая должна быть сведена к минимуму, не зависит ни от времени в пути, ни от других транспортных расходов. Принцип BM требует минимизации вероятности пробоя трафика, т. е. вероятности возникновения перегрузок в сети. При большом спросе на трафик применение принципа BM должно привести к относительно небольшим затратам на поездки, связанным со свободным потоком в сети.

См. также

• Активное управление трафиком
• Фундаментальная диаграмма
• Интеллектуальная транспортная система
• Микроскопическая модель транспортного потока
• Волна движения
• Узкое место движения
• Дорожная техника (транспорт)
• Транспортный поток
• Трехфазная теория движения
• Дорожные пробки
• Заторы на дорогах: реконструкция с трехфазной теорией Кернера
• Прогнозирование перевозок