Псевдоспектральный метод Беллмана
Псевдоспектральный метод Беллмана-псевдоспектральный метод оптимального управления, основанный на принципе оптимальности Беллмана . Это часть более крупной теории псевдоспектрального оптимального управления, термин, придуманный Россом .[1] метод назван в честь Ричарда Э. Беллмана . Он был представлен Россом и др. сначала как средство решения многомасштабных задач оптимального управления, а затем расширено для получения неоптимальных решений для общих задач оптимального управления.
Теоретические основы[править]
Многомасштабная версия псевдоспектрального метода Беллмана основана на свойстве спектральной сходимости псевдоспектральных методов Росса–Фахру . То есть, поскольку псевдоспектральный метод Росса–Фахру сходится с экспоненциально высокой скоростью, точечная сходимость к решению получается при очень малом числе узлов, даже если решение имеет высокочастотные компоненты. Это явление сглаживания в оптимальном управлении было впервые обнаружено Ross et al. Вместо того, чтобы использовать методы обработки сигналов для предотвращения псевдонима решения, Ross et al. предложено применение принципа оптимальности Беллмана к конвергентному решению для извлечения информации между узлами. Поскольку узлы Гаусса–Лобатто группируются в граничных точках, Ross et al. предположил , что если плотность узлов вокруг начальных условий удовлетворяет теореме выборки Найквиста–Шеннона, то полное решение может быть восстановлено путем решения задачи оптимального управления рекурсивным способом над кусочными сегментами, известными как сегменты Беллмана.
В расширенной версии метода Росс и др. предложил, чтобы метод мог также использоваться, чтобы произвести возможные решения, которые не были обязательно оптимальными. В этой версии можно применить псевдоспектральный метод Беллмана на еще меньшем числе узлов даже при знании того, что решение, возможно, не сходилось к оптимальному. В этой ситуации можно найти приемлемое решение.
Примечательной особенностью псевдоспектрального метода Беллмана является то, что он автоматически определяет несколько мер неоптимальности на основе первоначальной псевдоспектральной стоимости и стоимости, генерируемой суммой сегментов Беллмана.
Вычислительная эффективность[править]
Одно из вычислительных преимуществ псевдоспектрального метода Беллмана состоит в том, что он позволяет избежать гауссовских правил в распределении узловых точек. То есть, в стандартном псевдоспектральном методе распределение узловых точек является гауссовым (обычно Гаусс-Лобатто для конечного горизонта и Гаусс-Радау для бесконечного горизонта). Гауссовы точки разрежены в середине интервала (середина определяется в смещенном смысле для задач бесконечного горизонта) и плотны на границах. Накопление точек второго порядка вблизи границ приводит к потере узлов. Метод bellman pseudospectral использует преимущества накопления узлов в начальной точке для анти-псевдонима решения и отбрасывает остальные узлы. Таким образом, конечное распределение узлов негауссово и плотное, а вычислительный метод сохраняет разреженную структуру.
Приложения[править]
Псевдоспектральный метод Беллмана был впервые применен Россом и др.[2] решить сложную задачу оптимизации траектории очень малой тяги. Он успешно применяется для решения практической задачи создания высокоточных решений задачи транс-инжекции земли в космическую капсулу с лунной орбиты для успешного возвращения на поверхность Земли.
Псевдоспектральный метод Беллмана чаще всего используется в качестве дополнительной проверки оптимальности псевдоспектрального решения, генерируемого псевдоспектральными методами Росса–Фахру. То есть, помимо использования принципа минимума Понтрягина в сочетании с решениями, полученными псевдоспектральными методами Росса–Фахру, в качестве первичного критерия оптимальности вычисляемого решения используется псевдоспектральный метод Беллмана.